三角函数积分

三角函数积分常使用三角恒等变换来简化。

三角恒等变换

常用恒等式：

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$
$\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

例子

例子 1： $\int \sin^2 x dx$

解：

使用恒等式： $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$
$\int \sin^2 x dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C$

例子 2： $\int \sin x \cos x dx$

解：

使用恒等式： $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$
$\int \sin x \cos x dx = \int \frac{1}{2}\sin 2x dx = -\frac{1}{4}\cos 2x + C$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\int$	数学符号	integral sign	积分运算符号
$dx$	数学符号	differential of x	积分变量 $x$ 的微分元素
$C$	数学符号	constant of integration	积分常数（任意常数）
$\sin x, \cos x$	数学符号	sine/cosine of x	正弦函数、余弦函数
$\sin 2x, \cos 2x$	数学符号	sine/cosine of 2x	倍角的正弦、余弦
$\sin^2 x, \cos^2 x$	数学符号	sine/cosine squared of x	正弦、余弦的平方

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
三角函数	trigonometric function	/ˌtrɪɡənəˈmetrɪk ˈfʌŋkʃən/	正弦、余弦等函数
三角恒等式	trigonometric identity	/ˌtrɪɡənəˈmetrɪk aɪˈdentəti/	三角函数的恒成立等式
倍角公式	double-angle formula	/ˈdʌbl ˈæŋɡl ˈfɔːmjələ/	如 $\sin 2x = 2\sin x\cos x$
半角公式	half-angle formula	/hɑːf ˈæŋɡl ˈfɔːmjələ/	如 $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$
万能代换	universal substitution	/ˌjuːnɪˈvɜːsl ˌsʌbstɪˈtjuːʃən/	用 $\tan\frac{x}{2}$ 代换的方法

有理函数积分

有理函数积分的系统方法：多项式除法与部分分式分解。

无理函数积分

含根号的无理函数的积分方法与换元技巧。