三角函数积分

解题思路： $\cos^2 x$ 不是基本积分公式中的形式，用恒等式 $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ 把它改写成常数项与一次三角函数之和，再分别积分即可。

详细步骤：

1. 用降幂公式改写：$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$。
2. 代入并利用积分的线性性质：$\int \cos^2 x \, dx = \int \frac{1}{2} \, dx + \frac{1}{2}\int \cos 2x \, dx$。
3. 分别积分：$\int \frac{1}{2} \, dx = \frac{x}{2}$，$\frac{1}{2}\int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin 2x = \frac{1}{4}\sin 2x$。
4. 合并得 $\int \cos^2 x \, dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin 2x + C$。
5. 求导验证：$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin 2x\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x = \frac{1 + \cos 2x}{2} = \cos^2 x$，与原被积函数一致。

最终答案：$\int \cos^2 x \, dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin 2x + C$

解题思路： 奇次幂不能直接套降幂公式（降幂会把奇次幂变成一次与一次之和，含 $\cos 2x$ 等难以积分的项）。正确的做法是用恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 保留一个 $\sin x$，把其余部分写成 $\cos x$ 的函数，再令 $u = \cos x$ 换元。

详细步骤：

1. 用 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ 改写：$\sin^3 x = \sin x \cdot \sin^2 x = \sin x (1 - \cos^2 x)$。
2. 令 $u = \cos x$，则 $du = -\sin x \, dx$。
3. 换元并积分：$\int \sin^3 x \, dx = \int \sin x (1 - \cos^2 x) \, dx = -\int (1 - u^2) \, du = -u + \frac{u^3}{3} + C$。
4. 回代 $u = \cos x$：$\int \sin^3 x \, dx = -\cos x + \frac{1}{3}\cos^3 x + C$。
5. 求导验证：$\frac{d}{dx}\left(-\cos x + \frac{1}{3}\cos^3 x\right) = \sin x - \cos^2 x \sin x = \sin x (1 - \cos^2 x) = \sin^3 x$，与原被积函数一致。

最终答案：$\int \sin^3 x \, dx = -\cos x + \frac{1}{3}\cos^3 x + C$

解题思路： 分母是 $a^2+x^2$ 的形式，设法 $x = a\tan t$，用恒等式 $1 + \tan^2 t = \sec^2 t$ 把分母化成完全平方，从而约去微分中的因子。取 $t \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 时 $\sec t > 0$，故 $\sqrt{a^2+x^2} = a\sec t$ 无需再加绝对值。

详细步骤：

1. 令 $x = a\tan t$，$t \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$，则 $dx = a\sec^2 t \, dt$，且 $a^2 + x^2 = a^2(1 + \tan^2 t) = a^2 \sec^2 t$。
2. 换元：$\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \int \frac{a\sec^2 t}{a^2 \sec^2 t} \, dt = \frac{1}{a}\int dt = \frac{t}{a} + C$。
3. 回代：由 $\tan t = \frac{x}{a}$ 得 $t = \arctan\frac{x}{a}$。
4. 求导验证：$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}\right] = \frac{1}{a} \cdot \frac{1/a}{1 + x^2/a^2} = \frac{1}{a^2 + x^2}$，与原被积函数一致。

最终答案：$\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$

解题思路： 分母 $1+\cos x$ 用半角公式 $\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$ 化为 $2\cos^2\frac{x}{2}$，于是被积函数变成 $\frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2}$，可以像基本公式那样直接积分。（本页提到的一般方法是用万能代换 $t = \tan\frac{x}{2}$ 处理 $\int \frac{dx}{a+b\cos x}$，本题取 $a = b = 1$ 时半角公式更直接。）

详细步骤：

1. 由半角公式 $1 + \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$，得 $\frac{1}{1+\cos x} = \frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2}$。
2. 令 $u = \frac{x}{2}$，则 $du = \frac{1}{2}dx$，即 $dx = 2\,du$。
3. 换元并积分：$\int \frac{dx}{1+\cos x} = \frac{1}{2}\int \sec^2 u \cdot 2\,du = \int \sec^2 u \, du = \tan u + C$。
4. 回代 $u = \frac{x}{2}$：原式 $= \tan\frac{x}{2} + C$。
5. 求导验证：$\frac{d}{dx}\tan\frac{x}{2} = \frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2} = \frac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}} = \frac{1}{1+\cos x}$，与原被积函数一致。

最终答案：$\int \frac{dx}{1+\cos x} = \tan\frac{x}{2} + C$