积分的单调性

积分的单调性是定积分最基本的不等式性质之一。它告诉我们：当被积函数非负时，不断扩大积分区间，积分值只会”有增无减”。这一性质在实际应用中非常常见——例如估计累积量的下界、比较不同区间上的积分大小，以及在 proofs 中构造不等式。

基本定理

证明：由积分的区间可加性，

$\int_a^d f(x) dx - \int_a^c f(x) dx = \int_c^d f(x) dx$

又因 $f(x) \geq 0$，由积分的保号性知 $\int_c^d f(x) dx \geq 0$，故 $\int_a^c f(x) dx \leq \int_a^d f(x) dx$。

几何直觉

定积分 $\int_a^b f(x)\,dx$ 的几何意义是曲线 $y = f(x)$ 与 $x$ 轴之间的”有向面积”。当 $f(x) \geq 0$ 时，积分值恰好等于曲线下方的面积。

从这一角度来看，单调性非常直观：

• $\int_a^c f(x)\,dx$ 对应区间 $[a, c]$ 上曲线下方的面积；
• $\int_a^d f(x)\,dx$ 对应区间 $[a, d]$ 上曲线下方的面积。

由于 $c < d$，后者比前者多出了 $[c, d]$ 上的一块面积 $\int_c^d f(x)\,dx$。而 $f(x) \geq 0$ 保证了这块”额外面积”非负，因此积分值不会减小。

一句话总结：非负函数的积分好比”往水池里注水”——水龙头不关（$f \geq 0$），水位（积分值）只升不降。

例题

例题 1

题目：比较 $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx$ 与 $\displaystyle\int_0^2 e^x\,dx$ 的大小。

解：

令 $f(x) = e^x$。由于 $e^x > 0$ 对所有实数 $x$ 成立，$f(x)$ 在 $[0, 2]$ 上恒正。

取 $a = 0,\; c = 1,\; d = 2$，由积分的单调性：

$\int_0^1 e^x\,dx \leq \int_0^2 e^x\,dx$

事实上可以直接验证：

$\int_0^1 e^x\,dx = e - 1 \approx 1.718, \qquad \int_0^2 e^x\,dx = e^2 - 1 \approx 6.389$

结论成立，且由于 $e^x$ 在 $[1, 2]$ 上严格为正，不等号严格成立。

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例题 2

题目：设 $f(x) = x^2$，证明对任意 $0 \leq a < b$，都有 $\displaystyle\int_0^a x^2\,dx \leq \int_0^b x^2\,dx$，并计算两者的差。

解：

因为 $f(x) = x^2 \geq 0$ 在 $[0, +\infty)$ 上恒成立，且 $0 \leq a < b$，由积分的单调性直接得到：

$\int_0^a x^2\,dx \leq \int_0^b x^2\,dx$

计算两者的差：

$\int_0^b x^2\,dx - \int_0^a x^2\,dx = \int_a^b x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_a^b = \frac{b^3 - a^3}{3}$

由于 $0 \leq a < b$，有 $b^3 > a^3$，故 $\dfrac{b^3 - a^3}{3} > 0$，验证了严格不等号：

$\int_0^a x^2\,dx < \int_0^b x^2\,dx$

小结

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练习题

练习 1

设 $f(x) = 1 - x$（$x \in [0, 1]$）。用单调性比较 $\int_0^{1/2} f(x)\, dx$ 与 $\int_0^1 f(x)\, dx$ 的大小，并求出两个积分的值。

练习 2

设被积函数为 $f(x) = -1$（$x \in [0, 1]$）。通过具体计算说明：此时定理的单调性结论不成立。比较 $\int_0^{0.2} f(x)\, dx$ 与 $\int_0^{0.8} f(x)\, dx$。

练习 3

设 $f$ 在 $[0, 3]$ 上连续且非负，并且 $\int_0^1 f(x)\, dx = 4$。用单调性分别求出 $\int_1^2 f(x)\, dx$ 与 $\int_0^3 f(x)\, dx$ 的下界。

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总结

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中英对照