积分保号性

积分保号性描述了函数符号与积分值符号之间的关系。

基本定理

定理3

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则：

如果 $f(x) \geq 0$ 在 $[a, b]$ 上成立，则 $\int_a^b f(x) dx \geq 0$
如果 $f(x) > 0$ 在 $[a, b]$ 上成立，则 $\int_a^b f(x) dx > 0$

应用例子

例子：证明 $\int_0^1 x^2 dx > 0$

解：

在 $[0, 1]$ 上， $x^2 \geq 0$ 且只在 $x = 0$ 时等于 0
由于 $x^2$ 在 $[0, 1]$ 上连续且非负，根据积分保号性， $\int_0^1 x^2 dx \geq 0$
进一步，由于 $x^2 > 0$ 在 $(0, 1]$ 上成立，所以 $\int_0^1 x^2 dx > 0$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\int_a^b$	数学符号	integral from a to b	区间 $[a, b]$ 上的定积分
$f(x)$	数学符号	f of x	被积函数
$[a, b]$	数学符号	closed interval	闭区间
$\geq, >$	数学符号	greater than or equal / greater than	大于等于、大于
$dx$	数学符号	differential of x	积分变量 $x$ 的微分元素

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
保号性	sign-preserving property	/saɪn prɪˈzɜːvɪŋ ˈprɒpəti/	函数符号保持到积分符号的性质
非负	non-negative	/ˌnɒn ˈneɡətɪv/	大于或等于零
连续	continuous	/kənˈtɪnjuəs/	函数不间断的性质
被积函数	integrand	/ˈɪntɪɡrænd/	积分号内的函数

区间可加性

积分对区间的可加性：将积分区间分段后各段积分之和等于整体积分。

积分中值定理

积分中值定理：存在 ξ 使积分等于函数值乘以区间长度的证明与几何意义。