积分保号性

解题思路：非负性直接由保号性给出；严格性则要用连续性——只要 $f$ 在某一点取正值，由连续性它在该点的一个邻域内有一个正的间隙，这个邻域含有长度为正的区间，积分因此严格为正。

详细步骤：

1. 由保号性：$f(x) \geq 0$ 于 $[0, 1]$ 时，$\int_0^1 f(x) dx \geq 0$。
2. 严格性：若存在 $x_0 \in [0, 1]$ 使 $f(x_0) > 0$，由 $f$ 在 $x_0$ 处连续，存在 $\delta > 0$ 使 $f(x) \geq \frac{f(x_0)}{2} > 0$ 对一切 $x \in [0, 1] \cap (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ 成立。该交集含有长度为正的区间，故 $\int_0^1 f(x) dx > 0$。
3. 反之，若 $f(x) \equiv 0$ 于 $[0, 1]$，则 $\int_0^1 f(x) dx = 0$。

最终答案：$\int_0^1 f(x) dx \geq 0$，且 $\int_0^1 f(x) dx = 0$ 当且仅当 $f(x) \equiv 0$ 于 $[0, 1]$（只要 $f$ 在某一点取正值，积分就严格大于零）

解题思路：把条件改写成 $g(x) = f(x) - x^2 \geq 0$，$g$ 连续，于是可用保号性得到 $\int_0^1 g(x) dx \geq 0$，即 $\int_0^1 f(x) dx \geq \int_0^1 x^2 dx$；等号条件则归结为”$g$ 连续、非负且积分为零，故 $g$ 恒为零”。

详细步骤：

1. 令 $g(x) = f(x) - x^2$。在 $[0, 1]$ 上 $g(x) \geq 0$，且 $g$ 连续。
2. 由保号性：$\int_0^1 g(x) dx \geq 0$，即 $\int_0^1 f(x) dx - \int_0^1 x^2 dx \geq 0$。
3. 计算 $\int_0^1 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}$，所以 $\int_0^1 f(x) dx \geq \frac{1}{3}$。
4. 等号条件：等号成立即 $\int_0^1 g(x) dx = 0$。由练习 1 的结论，$g$ 连续、非负且积分为零时必有 $g(x) \equiv 0$ 于 $[0, 1]$，即 $f(x) \equiv x^2$；反过来 $f(x) \equiv x^2$ 时积分确实等于 $\frac{1}{3}$。

最终答案：$\int_0^1 f(x) dx \geq \frac{1}{3}$，等号成立当且仅当 $f(x) \equiv x^2$ 于 $[0, 1]$

解题思路：反设 $f$ 在 $(0, 1)$ 内处处非负。由连续性，端点处的函数值也不能为负，否则在靠近端点的邻域内函数仍取负值；于是 $f$ 在整个 $[0, 1]$ 上非负，保号性给出积分非负，与积分小于零矛盾。

详细步骤：

1. 反设对一切 $x \in (0, 1)$ 都有 $f(x) \geq 0$。
2. 由连续性，$f(0) \geq 0$ 且 $f(1) \geq 0$：若例如 $f(0) < 0$，由连续性存在 $\delta > 0$ 使 $f(x) < 0$ 对一切 $x \in (0, \delta)$ 成立，与反设矛盾；$f(1)$ 的情形同理。
3. 于是 $f(x) \geq 0$ 于整个 $[0, 1]$，由保号性得 $\int_0^1 f(x) dx \geq 0$，与已知的 $\int_0^1 f(x) dx < 0$ 矛盾。
4. 所以反设不成立，必存在 $\eta \in (0, 1)$ 使 $f(\eta) < 0$。

最终答案：存在 $\eta \in (0, 1)$ 使得 $f(\eta) < 0$