积分中值定理

积分中值定理是定积分理论中的重要定理，它建立了积分值与函数值之间的联系。

基本定理

几何解释：存在一个矩形，其面积等于曲边梯形的面积，这个矩形的高就是函数在区间内某点的值。

应用例子

例子：对于函数 $f(x) = x^2$ 在 $[0, 1]$ 上，求满足积分中值定理的点 $\xi$

解：

• $\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$
• 根据积分中值定理：$\frac{1}{3} = \xi^2 \cdot 1$
• 所以 $\xi^2 = \frac{1}{3}$，即 $\xi = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$

练习题

练习 1

利用积分中值定理，对于函数 $f(x) = x$ 在 $[0, 2]$ 上，求满足定理的点 $\xi$。