牛顿-莱布尼茨公式

解题思路： 被积函数 $f(t) = t^2$ 在实数范围内连续，故 $F(x) = \int_0^x t^2 \, dt$ 存在且可导，并满足 $F'(x) = f(x) = x^2$。直接算出积分再求导，可以同时验证这一微分关系。

详细步骤：

1. 由于 $f(t) = t^2$ 连续，积分上限函数 $F(x) = \int_0^x t^2 \, dt$ 对每个实数 $x$ 都有意义，且 $F'(x) = f(x) = x^2$。
2. 直接积分：$F(x) = \int_0^x t^2 \, dt = \left[\frac{t^3}{3}\right]_0^x = \frac{x^3}{3} - 0 = \frac{x^3}{3}$。
3. 求导验证：$F'(x) = \left(\frac{x^3}{3}\right)' = x^2 = f(x)$，与第 1 步的结论一致。

最终答案：$F(x) = \frac{x^3}{3}$，且 $F'(x) = x^2$

解题思路： 先求出 $x^2$ 的一个原函数，再用牛顿-莱布尼茨公式把定积分化为原函数在两个端点处的差。所得的差恰好就是积分上限函数在两端的取值之差。

详细步骤：

1. $f(x) = x^2$ 在 $[0, 1]$ 上连续，一个原函数为 $G(x) = \frac{x^3}{3}$。
2. 由牛顿-莱布尼茨公式：$\int_0^1 x^2 \, dx = G(1) - G(0) = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$。
3. 第 2 步也可以写成 $F(1) - F(0)$，其中 $F(x) = \int_0^x t^2 \, dt$：$F(1) = \frac{1}{3}$，$F(0) = \int_0^0 t^2 \, dt = 0$，故 $F(1) - F(0) = \frac{1}{3}$，与第 2 步完全一致。

最终答案：$\int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}$

解题思路： 由牛顿-莱布尼茨公式，任何定积分都可以写成积分上限函数在两个端点处的差，因此只要代入已知的 $F(1)$ 与 $F(2)$ 即可。

详细步骤：

1. 由牛顿-莱布尼茨公式，$\int_1^2 f(t) \, dt = F(2) - F(1)$。
2. 代入已知条件：$F(2) - F(1) = 5 - 3 = 2$。
3. 这里连续性保证 $F$ 可导、公式可用；题目给出的两个 $F$ 值已经足够，不需要知道 $f$ 的具体表达式。

最终答案：$\int_1^2 f(t) \, dt = 2$

解题思路： 在 $[0, 2]$ 上 $x^2 \ge 0$，故定积分恰好度量曲线与 $x$ 轴围成的面积；用牛顿-莱布尼茨公式算出数值，再用纯几何的抛物线面积公式核对。

详细步骤：

1. 面积为 $S = \int_0^2 x^2 \, dx$，因为在 $[0, 2]$ 上 $x^2 \ge 0$。
2. 由牛顿-莱布尼茨公式：$S = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$。
3. 几何方法：抛物线 $y = x^2$ 在 $[0, 2]$ 上与 $x$ 轴围成的图形，其面积等于外接矩形面积的三分之一，矩形底为 $2$、高为 $4$，故 $S = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 4 = \frac{8}{3}$。
4. 两种方法结果相同，说明定积分确实度量了平面图形的面积，这正是积分上限函数的面积意义。

最终答案：$S = \frac{8}{3}$