积分的线性性质

线性性质是积分最基本的性质之一。

基本定理

定理1

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $I$ 上连续， $a$ 和 $b$ 为常数，则

$\int [af(x) + bg(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx$

设 $F(x)$ 和 $G(x)$ 分别是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的原函数，则

$(aF(x) + bG(x))' = aF'(x) + bG'(x) = af(x) + bg(x)$

所以 $aF(x) + bG(x)$ 是 $af(x) + bg(x)$ 的原函数。

线性性质表示积分运算对加法和数乘是线性的，这与导数的线性性质相对应。

例子：计算 $\int (3x^2 + 2x) dx$

解：

利用线性性质计算 $\int (2x^3 - 3x^2 + 4x) dx$ 。

参考答案

解题思路：使用积分的线性性质，将积分分解为各个部分的积分。

详细步骤：

答案： $\frac{x^4}{2} - x^3 + 2x^2 + C$

计算 $\int (x^2 + 2x + 1) dx$ 。

参考答案

解题思路：使用线性性质和基本积分公式。

详细步骤：

答案： $\frac{x^3}{3} + x^2 + x + C$

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\int$	数学符号	integral sign	积分运算符号
$f(x)$	数学符号	f of x	被积函数
$g(x)$	数学符号	g of x	参与线性组合的另一个函数
$a, b$	数学符号	a, b	线性组合中的常数系数
$I$	数学符号	interval I	函数连续的定义区间
$F(x)$	数学符号	F of x	函数 $f(x)$ 的一个原函数
$G(x)$	数学符号	G of x	函数 $g(x)$ 的一个原函数
$C$	数学符号	constant of integration	积分常数（任意常数）
$dx$	数学符号	differential of x	积分变量 $x$ 的微分元素