三角恒等变换

三角恒等变换可以简化含三角函数的积分。

适用情况

适用情况：被积函数包含三角函数

常用恒等式

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$
$\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

例子

例子： $\int \sin^2 x dx$

解：

使用恒等式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$
$\int \sin^2 x dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C$

练习题

练习 1

使用三角恒等变换计算 $\int \cos^2 x dx$ 。

参考答案

解题思路：使用恒等式 $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ 。

详细步骤：

使用恒等式： $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$
$\int \cos^2 x dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2}\int (1 + \cos 2x) dx$
$\frac{1}{2}\int (1 + \cos 2x) dx = \frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}\sin 2x) + C = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$

答案： $\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$

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