三角恒等变换

三角恒等变换可以简化含三角函数的积分。

适用情况

适用情况：被积函数包含三角函数

常用恒等式

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$
$\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

例子

例子： $\int \sin^2 x dx$

解：

使用恒等式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$
$\int \sin^2 x dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C$

练习题

练习 1

使用三角恒等变换计算 $\int \cos^2 x dx$ 。

参考答案

解题思路：使用恒等式 $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ 。

详细步骤：

使用恒等式： $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$
$\int \cos^2 x dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2}\int (1 + \cos 2x) dx$
$\frac{1}{2}\int (1 + \cos 2x) dx = \frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}\sin 2x) + C = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$

答案： $\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\int$	数学符号	integral sign	积分运算符号
$dx$	数学符号	differential of x	积分变量 $x$ 的微分元素
$C$	数学符号	constant of integration	积分常数（任意常数）
$\sin x, \cos x$	数学符号	sine/cosine of x	正弦函数、余弦函数
$\sin 2x, \cos 2x$	数学符号	sine/cosine of 2x	倍角的正弦、余弦
$\sin^2 x, \cos^2 x$	数学符号	sine/cosine squared of x	正弦、余弦的平方

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
三角恒等式	trigonometric identity	/ˌtrɪɡənəˈmetrɪk aɪˈdentəti/	三角函数的恒成立等式
倍角公式	double-angle formula	/ˈdʌbl ˈæŋɡl ˈfɔːmjələ/	如 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$
半角公式	half-angle formula	/hɑːf ˈæŋɡl ˈfɔːmjələ/	如 $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$
降幂公式	power-reduction formula	/ˈpaʊə rɪˈdʌkʃən ˈfɔːmjələ/	把高次三角函数化为一次
积化和差	product-to-sum	/ˈprɒdʌkt tə sʌm/	乘积化为和差的公式

凑微分法（第一类换元法）：将被积表达式配成 d(g(x)) 形式的技巧。

部分分式分解

将有理函数分解为部分分式后再逐项积分的系统方法。