线性性质

线性性质是定积分最基本的性质之一。

基本线性性质

定理1

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积， $k$ 为常数，则：

证明

利用积分的线性性质和极限的线性性质即可证明。

例子：计算 $\int_0^1 (2x^2 + 3x) dx$

解：

$\int_0^1 (2x^2 + 3x) dx = 2\int_0^1 x^2 dx + 3\int_0^1 x dx$
$= 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{13}{6}$

利用线性性质计算 $\int_0^1 (3x^2 + 2x + 1) dx$ 。

参考答案

解题思路：利用积分的线性性质，将积分分解为三个简单积分的和。

详细步骤：

$\int_0^1 (3x^2 + 2x + 1) dx = 3\int_0^1 x^2 dx + 2\int_0^1 x dx + \int_0^1 1 dx$
$= 3 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 = 1 + 1 + 1 = 3$

答案： $3$

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\int_a^b$	数学符号	integral from a to b	区间 $[a, b]$ 上的定积分
$f(x), g(x)$	数学符号	f/g of x	参与线性组合的被积函数
$k$	数学符号	k	可提到积分号外的常数
$[a, b]$	数学符号	closed interval	闭区间
$dx$	数学符号	differential of x	积分变量 $x$ 的微分元素