部分分式分解

解题思路： 分母已分解为两个不同的一次因式，只需设 $\frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$，通分后比较系数定出 $A$ 与 $B$，再对两项分别积分。

详细步骤：

1. 设 $\frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$，通分得 $1 = A(x+2) + B(x-1)$。
2. 令 $x = 1$ 得 $A = \frac{1}{3}$；令 $x = -2$ 得 $B = -\frac{1}{3}$。故 $\frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2}\right)$。
3. 逐项积分：$\int \frac{dx}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{3}\ln|x-1| - \frac{1}{3}\ln|x+2| + C = \frac{1}{3}\ln\left|\frac{x-1}{x+2}\right| + C$。
4. 求导验证：$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{3}\ln|x-1| - \frac{1}{3}\ln|x+2|\right] = \frac{1}{3(x-1)} - \frac{1}{3(x+2)} = \frac{(x+2)-(x-1)}{3(x-1)(x+2)} = \frac{1}{(x-1)(x+2)}$，与原被积函数一致。

最终答案：$\int \frac{dx}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{3}\ln\left|\frac{x-1}{x+2}\right| + C$

解题思路： 与练习 1 的分母相同，但分子是不等于常数的一次式。待定系数法中令 $x = 1$ 与 $x = -2$ 仍然有效：此时分子分母中的另一个因式都不为零，可以直接读出 $A$ 与 $B$。

详细步骤：

1. 设 $\frac{3x+1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$，通分得 $3x+1 = A(x+2) + B(x-1) = (A+B)x + (2A - B)$。
2. 令 $x = 1$ 得 $3 + 1 = 3A$，即 $A = \frac{4}{3}$；令 $x = -2$ 得 $-6 + 1 = -3B$，即 $B = \frac{5}{3}$。代回检验：$(A+B)x + (2A-B) = \left(\frac{4}{3}+\frac{5}{3}\right)x + \left(\frac{8}{3}-\frac{5}{3}\right) = 3x + 1$，符合。
3. 逐项积分：$\int \frac{3x+1}{(x-1)(x+2)} dx = \frac{4}{3}\ln|x-1| + \frac{5}{3}\ln|x+2| + C$。
4. 求导验证：$\frac{d}{dx}\left[\frac{4}{3}\ln|x-1| + \frac{5}{3}\ln|x+2|\right] = \frac{4}{3(x-1)} + \frac{5}{3(x+2)} = \frac{4(x+2) + 5(x-1)}{3(x-1)(x+2)} = \frac{3x+1}{(x-1)(x+2)}$，与原被积函数一致。

最终答案：$\int \frac{3x+1}{(x-1)(x+2)} dx = \frac{4}{3}\ln|x-1| + \frac{5}{3}\ln|x+2| + C$

解题思路： 重因式的幂为 $2$ 时不能只设一项，而要拆成 $\frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$ 两项，否则无法匹配分子的次数。设好三个未知系数后，用 $x = 0$、$x = -1$ 与比较最高次项系数即可全部定出。

详细步骤：

1. 设 $\frac{1}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$，通分得 $1 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx$。
2. 令 $x = 0$ 得 $A = 1$；令 $x = -1$ 得 $C = -1$；再比较 $x^2$ 的系数得 $A + B = 0$，即 $B = -1$。
3. 代回检验：$(x+1)^2 - x(x+1) - x = x^2 + 2x + 1 - x^2 - x - x = 1$，符合。
4. 逐项积分：$\int \frac{dx}{x(x+1)^2} = \ln|x| - \ln|x+1| + \frac{1}{x+1} + C$，其中 $\int \frac{-1}{(x+1)^2} dx = \frac{1}{x+1}$。
5. 求导验证：$\frac{d}{dx}\left[\ln|x| - \ln|x+1| + \frac{1}{x+1}\right] = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2 - x(x+1) - x}{x(x+1)^2} = \frac{1}{x(x+1)^2}$，与原被积函数一致。

最终答案：$\int \frac{dx}{x(x+1)^2} = \ln|x| - \ln|x+1| + \frac{1}{x+1} + C$

解题思路： 分子次数 $3$ 高于分母次数 $2$，这是假分式，不能直接作部分分式分解。先用多项式除法把它化为多项式与真分式之和，再对真分式部分分解。

详细步骤：

1. 多项式除法：$x^3 = (x^2-1)\cdot x + x$，故 $\frac{x^3}{x^2-1} = x + \frac{x}{x^2-1}$。
2. 对真分式部分作分解：设 $\frac{x}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$，通分得 $x = A(x+1) + B(x-1) = (A+B)x + (A-B)$。比较系数得 $A + B = 1$、$A - B = 0$，即 $A = B = \frac{1}{2}$。
3. 于是 $\frac{x^3}{x^2-1} = x + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}\right)$。
4. 逐项积分：$\int \frac{x^3}{x^2-1} dx = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln|x+1| + C = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\ln|x^2-1| + C$。
5. 求导验证：$\frac{d}{dx}\left[\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\ln|x^2-1|\right] = x + \frac{x}{x^2-1} = \frac{x(x^2-1) + x}{x^2-1} = \frac{x^3}{x^2-1}$，与原被积函数一致。

最终答案：$\int \frac{x^3}{x^2-1} dx = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\ln|x^2-1| + C$