利用分部积分法

分部积分法是处理乘积型被积函数的重要方法。

定积分的分部积分法

定积分的分部积分法：

$\int_a^b u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) dx$

或者写成：

$\int_a^b u dv = [uv]_a^b - \int_a^b v du$

例子：计算 $\int_0^1 x e^x dx$

解：

设 $u(x) = x$ ， $v'(x) = e^x$ ，则 $u'(x) = 1$ ， $v(x) = e^x$
$\int_0^1 x e^x dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1$

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\int_a^b$	数学符号	integral from a to b	区间 $[a, b]$ 上的定积分
$u(x), v(x)$	数学符号	u/v of x	分部积分中的两个函数
$u'(x), v'(x)$	数学符号	u/v prime of x	两个函数的导数
$du, dv$	数学符号	differential of u/v	两个函数的微分
$[uv]_a^b$	数学符号	u times v from a to b	代入上下限的记号
$e^x$	数学符号	e to the x	以 $e$ 为底的指数函数