利用分部积分法

解题思路：被积函数是 $x$ 与 $e^x$ 的乘积，取 $u(x) = x$、$v'(x) = e^x$，把导数从 $e^x$ 转移到 $x$ 上，剩下的 $\int_0^1 e^x dx$ 用基本积分公式即可算出。

详细步骤：

1. 取 $u(x) = x$，$v'(x) = e^x$，则 $u'(x) = 1$，$v(x) = e^x$。
2. 代入分部积分公式：$\int_0^1 x e^x dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx$。
3. 计算边界项：$[x e^x]_0^1 = 1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0 = e$。
4. 计算剩余积分：$\int_0^1 e^x dx = [e^x]_0^1 = e - 1$。
5. 所以 $\int_0^1 x e^x dx = e - (e - 1) = 1$。

最终答案：$1$

解题思路：仍取 $u(x) = x$，但这次 $v'(x) = \cos x$，其原函数是 $v(x) = \sin x$；边界项 $[x \sin x]_0^{\pi}$ 恰好为零，剩下的 $\int_0^{\pi} \sin x dx$ 用基本积分公式计算。

详细步骤：

1. 取 $u(x) = x$，$v'(x) = \cos x$，则 $u'(x) = 1$，$v(x) = \sin x$。
2. 代入分部积分公式：$\int_0^{\pi} x \cos x dx = [x \sin x]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \sin x dx$。
3. 计算边界项：$[x \sin x]_0^{\pi} = \pi \sin \pi - 0 \sin 0 = 0$。
4. 计算剩余积分：$\int_0^{\pi} \sin x dx = [-\cos x]_0^{\pi} = -\cos \pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$。
5. 所以 $\int_0^{\pi} x \cos x dx = 0 - 2 = -2$。

最终答案：$-2$

解题思路：对 $x^2 e^x$ 分部一次后，剩下 $\int_0^1 2x e^x dx$ 仍是乘积型，因此要连续使用两次分部积分公式：第一次消去 $x^2$，第二次消去 $x$。

详细步骤：

1. 第一次分部：取 $u(x) = x^2$，$v'(x) = e^x$，则 $u'(x) = 2x$，$v(x) = e^x$。
2. $\int_0^1 x^2 e^x dx = [x^2 e^x]_0^1 - \int_0^1 2x e^x dx = e - 2\int_0^1 x e^x dx$。
3. 对 $\int_0^1 x e^x dx$ 再分部一次（取 $u(x) = x$，$v'(x) = e^x$）：$\int_0^1 x e^x dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e - 1) = 1$。
4. 代回上一步：$\int_0^1 x^2 e^x dx = e - 2 \cdot 1 = e - 2$。

最终答案：$e - 2$