一元函数积分学综合练习题

解题思路：利用积分的线性性质，将多项式拆成逐项积分。

详细步骤：

1. $\int (3x^2 - 2x + 5) dx = 3\int x^2 dx - 2\int x dx + 5\int dx$
2. $= 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C$
3. $= x^3 - x^2 + 5x + C$

答案：$x^3 - x^2 + 5x + C$

解题思路：注意到分子 $2x$ 恰好是分母 $1 + x^2$ 的导数，可凑微分。

详细步骤：

1. 设 $u = 1 + x^2$，则 $du = 2x dx$
2. $\int \frac{2x}{1 + x^2} dx = \int \frac{1}{u} du$
3. $= \ln|u| + C = \ln(1 + x^2) + C$

答案：$\ln(1 + x^2) + C$（因 $1 + x^2 > 0$，绝对值可省略）

解题思路：被积函数含 $\sqrt{4 - x^2}$，设 $x = 2\sin t$ 消去根式。

详细步骤：

1. 设 $x = 2\sin t$，则 $dx = 2\cos t\, dt$，$\sqrt{4 - x^2} = 2\cos t$
2. $\int \sqrt{4 - x^2} dx = \int 2\cos t \cdot 2\cos t\, dt = 4\int \cos^2 t\, dt$
3. $= 4\int \frac{1 + \cos 2t}{2} dt = 2t + \sin 2t + C$
4. 回代：$t = \arcsin\frac{x}{2}$，$\sin 2t = 2\sin t\cos t = \frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2}$
5. $= 2\arcsin\frac{x}{2} + \frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + C$

答案：$2\arcsin\frac{x}{2} + \frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + C$

解题思路：对数的导数简单，设 $u = \ln x$，$dv = x\, dx$。

详细步骤：

1. 设 $u = \ln x$，$dv = x dx$，则 $du = \frac{1}{x} dx$，$v = \frac{x^2}{2}$
2. $\int x \ln x dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx$
3. $= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$

答案：$\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$

解题思路：先将分母因式分解，再拆为部分分式。

详细步骤：

1. $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$
2. 设 $\frac{2x + 3}{(x-2)(x+3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+3}$
3. 通分比较：$2x + 3 = A(x+3) + B(x-2) = (A+B)x + (3A - 2B)$
4. 解得 $A + B = 2$，$3A - 2B = 3$，所以 $A = \frac{7}{5}$，$B = \frac{3}{5}$
5. $\int \frac{2x+3}{x^2+x-6} dx = \frac{7}{5}\ln|x-2| + \frac{3}{5}\ln|x+3| + C$

答案：$\frac{7}{5}\ln|x-2| + \frac{3}{5}\ln|x+3| + C$

解题思路：用半角公式降幂后积分。

详细步骤：

1. $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$
2. $\int \cos^2 x dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx$
3. $= \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$

答案：$\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$

解题思路：先用线性性质拆分，再用牛顿-莱布尼茨公式求值。

详细步骤：

1. $\int_0^2 (x^3 + 1) dx = [\frac{x^4}{4} + x]_0^2$
2. $= (\frac{16}{4} + 2) - (0 + 0) = 4 + 2 = 6$

答案：$6$

解题思路：$x^5$ 与 $x^3$ 都是奇函数，在对称区间上积分为零。

详细步骤：

1. 奇函数性质：$\int_{-1}^{1} x^5 dx = 0$，$\int_{-1}^{1} x^3 dx = 0$
2. $\int_{-1}^{1} (x^5 + x^3 + 2) dx = 0 + 0 + \int_{-1}^{1} 2 dx = 2 \cdot 2 = 4$

答案：$4$

解题思路：上限是 $x^2$，用变限积分求导公式并结合链式法则。

详细步骤：

1. $F'(x) = e^{x^2} \sin(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$
2. $= e^{x^2} \sin(x^2) \cdot 2x = 2x e^{x^2} \sin(x^2)$

答案：$2x e^{x^2} \sin(x^2)$

解题思路：第一类反常积分，$p > 1$ 时收敛，用定义计算。

详细步骤：

1. $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{b \to +\infty} \int_1^b x^{-2} dx$
2. $= \lim_{b \to +\infty} [-\frac{1}{x}]_1^b = \lim_{b \to +\infty} (-\frac{1}{b} + 1) = 1$
3. 极限存在，故积分收敛

答案：收敛，值为 $1$

解题思路：面积用 $\int_a^b f(x) dx$，旋转体体积用 $V = \pi\int_a^b [f(x)]^2 dx$。

详细步骤：

1. 面积：$S = \int_0^1 x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{3}$
2. 体积：$V = \pi \int_0^1 (x^2)^2 dx = \pi \int_0^1 x^4 dx = \pi [\frac{x^5}{5}]_0^1 = \frac{\pi}{5}$

答案：面积 $\frac{1}{3}$，体积 $\frac{\pi}{5}$

解题思路：弹簧力 $F(x) = kx$，功为力对位移的积分。

详细步骤：

1. $W = \int_0^a kx \, dx$
2. $= k[\frac{x^2}{2}]_0^a = \frac{ka^2}{2}$

答案：$\frac{ka^2}{2}$