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一元函数积分学

不定积分的基本概念

不定积分的定义

基本定义

不定积分

设 F(x)F(x) 的导数为 f(x)f(x)，则 F(x)F(x) 称为 f(x)f(x) 的一个原函数，f(x)f(x) 的所有原函数记作

∫f(x)dx=F(x)+C\int f(x) dx = F(x) + C

其中 CC 为任意常数，称为积分常数。

原函数的概念

原函数

如果函数 F(x)F(x) 在区间 II 上可导，且 F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)，则称 F(x)F(x) 为 f(x)f(x) 在区间 II 上的一个原函数。

性质：

  1. 如果 F(x)F(x) 是 f(x)f(x) 的一个原函数，则 F(x)+CF(x) + C（CC 为任意常数）也是 f(x)f(x) 的原函数
  2. f(x)f(x) 的任意两个原函数之差是一个常数

不定积分的几何意义

不定积分表示一族曲线，这些曲线在每一点的切线斜率都等于被积函数在该点的值。

例子：∫2xdx=x2+C\int 2x dx = x^2 + C

这表示一族抛物线 y=x2+Cy = x^2 + C，其中每条抛物线在任意点 xx 处的切线斜率都是 2x2x。

积分与微分的关系

基本关系

积分与微分的基本关系
  1. ddx[∫f(x)dx]=f(x)\frac{d}{dx}[\int f(x) dx] = f(x)
  2. ∫f′(x)dx=f(x)+C\int f'(x) dx = f(x) + C

几何解释

  • 积分是微分的逆运算
  • 积分常数 CC 反映了原函数的不唯一性

物理意义

  • 积分表示累积量
  • 如位移是速度的积分

积分常数的意义

为什么需要积分常数

由于导数的性质，如果 F(x)F(x) 是 f(x)f(x) 的原函数，那么 F(x)+CF(x) + C 也是 f(x)f(x) 的原函数，其中 CC 是任意常数。

积分常数的几何意义

积分常数 CC 表示函数图像在 yy 轴上的平移。不同的 CC 值对应不同的曲线，但它们都是平行的。

例子：

  • F(x)=x2F(x) = x^2 是 f(x)=2xf(x) = 2x 的一个原函数
  • F(x)=x2+1F(x) = x^2 + 1，F(x)=x2−3F(x) = x^2 - 3 等都是 f(x)=2xf(x) = 2x 的原函数
  • 这些函数图像都是抛物线，只是位置不同

练习题

练习 1

验证 F(x)=x3+2xF(x) = x^3 + 2x 是 f(x)=3x2+2f(x) = 3x^2 + 2 的原函数。

不定积分原函数

解题思路： 要验证 F(x)F(x) 是 f(x)f(x) 的原函数，需要计算 F′(x)F'(x) 并检查是否等于 f(x)f(x)。

详细步骤：

  1. 计算 F′(x)F'(x)： F′(x)=ddx(x3+2x)=3x2+2F'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x) = 3x^2 + 2

  2. 比较 F′(x)F'(x) 与 f(x)f(x)：

    • F′(x)=3x2+2F'(x) = 3x^2 + 2
    • f(x)=3x2+2f(x) = 3x^2 + 2

  3. 由于 F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)，所以 F(x)=x3+2xF(x) = x^3 + 2x 是 f(x)=3x2+2f(x) = 3x^2 + 2 的原函数。

最终答案： F(x)=x3+2xF(x) = x^3 + 2x 确实是 f(x)=3x2+2f(x) = 3x^2 + 2 的原函数。

练习 2

求函数 f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 的所有原函数。

不定积分原函数常数

解题思路： 要找到 f(x)f(x) 的所有原函数，需要找到一个原函数，然后加上任意常数。

详细步骤：

  1. 观察 f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1，可以猜测一个原函数： F(x)=x2+xF(x) = x^2 + x

  2. 验证：F′(x)=2x+1=f(x)F'(x) = 2x + 1 = f(x)

  3. 因此，f(x)f(x) 的所有原函数为： ∫f(x)dx=x2+x+C\int f(x) dx = x^2 + x + C，其中 CC 为任意常数。

最终答案： ∫(2x+1)dx=x2+x+C\int (2x + 1) dx = x^2 + x + C，其中 CC 为任意常数。

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
∫\int数学符号integral sign积分运算符号
dxdx数学符号differential of x积分变量 xx 的微分元素
CC数学符号constant of integration积分常数（任意常数）
f(x)f(x)数学符号f of x被积函数
F(x)F(x)数学符号F of x函数 f(x)f(x) 的原函数
xnx^n数学符号x to the nxx 的 nn 次幂

中英对照

中文术语英文术语音标说明
不定积分indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/含有积分常数的一族原函数
原函数antiderivative/ˌæntidɪˈrɪvətɪv/导数为给定函数的函数
被积函数integrand/ˈɪntɪɡrænd/积分号内的函数
积分常数constant of integration/ˈkɒnstənt əv ˌɪntɪˈɡreɪʃən/不定积分中的任意常数
几何意义geometric meaning/ˌdʒiːəˈmetrɪk ˈmiːnɪŋ/图形的直观解释
切线斜率tangent slope/ˈtændʒənt sləʊp/曲线在某点切线的倾斜程度
逆运算inverse operation/ˌɪnˈvɜːs ˌɒpəˈreɪʃən/相互抵消的两种运算
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