积分技巧总结

解题思路： 观察被积函数的结构：$\frac{x^2-1}{x^2}$ 看起来复杂，但分子分母同次，通分后立刻化为 $1 - \frac{1}{x^2}$。这正是分解法的用途——把复杂函数拆成两个基本公式能直接处理的简单函数，再利用积分的线性性质分别积分。

详细步骤：

1. 先通分观察结构：$\frac{x^2-1}{x^2} = \frac{x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2} = 1 - \frac{1}{x^2} = 1 - x^{-2}$。
2. 用积分的线性性质拆分：$\int \left(1 - x^{-2}\right) dx = \int 1 \, dx - \int x^{-2} dx$。
3. 分别用基本积分公式：$\int 1 \, dx = x + C_1$，$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C_2 = -\frac{1}{x} + C_2$。
4. 合并并合并积分常数：$\int \frac{x^2-1}{x^2} dx = x + \frac{1}{x} + C$。
5. 求导验证：$\frac{d}{dx}\left(x + \frac{1}{x}\right) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2}$，与原被积函数一致。

最终答案：$\int \frac{x^2-1}{x^2} dx = x + \frac{1}{x} + C$

解题思路： 被积函数中出现 $x$ 与 $x^2$ 的组合，而 $x^2$ 的导数 $2x$ 正好出现，所以令 $u = x^2$，把整个微分一起换掉。换元后必须回代，把新变量 $u$ 换回原变量 $x$，并补上积分常数。

详细步骤：

1. 令 $u = x^2$，则 $du = 2x \, dx$，即 $x \, dx = \frac{1}{2} du$。
2. 换元：$\int x \cos(x^2) dx = \frac{1}{2} \int \cos u \, du = \frac{1}{2} \sin u + C$。
3. 回代：把 $u = x^2$ 代回，得 $\int x \cos(x^2) dx = \frac{1}{2} \sin(x^2) + C$。
4. 求导验证：$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\sin(x^2)\right] = \frac{1}{2} \cdot 2x \cos(x^2) = x \cos(x^2)$，与原被积函数一致。

最终答案：$\int x \cos(x^2) dx = \frac{1}{2} \sin(x^2) + C$

解题思路： 分母不是基本公式中的形式，无法直接套用。观察 $x^2+2x+2$ 可以配方成 $(x+1)^2 + 1$，而 $\int \frac{du}{u^2+1} = \arctan u + C$ 是已知的基本公式。配方后再作一次简单换元 $u = x+1$ 即可。

详细步骤：

1. 配方：$x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1$，即 $x^2+2x+2 = (x+1)^2 + 1^2$。
2. 令 $u = x+1$，则 $du = dx$，原式化为 $\int \frac{du}{u^2+1}$。
3. 用基本公式 $\int \frac{du}{u^2+1} = \arctan u + C$，得 $\int \frac{dx}{x^2+2x+2} = \arctan u + C$。
4. 回代 $u = x+1$：$\int \frac{dx}{x^2+2x+2} = \arctan(x+1) + C$。
5. 求导验证：$\frac{d}{dx}\arctan(x+1) = \frac{1}{1+(x+1)^2} = \frac{1}{x^2+2x+2}$，与原被积函数一致。

最终答案：$\int \frac{dx}{x^2+2x+2} = \arctan(x+1) + C$