积分的应用

积分不仅在数学理论中具有重要地位，在实际应用中也有广泛的应用。本章将介绍积分在几何和物理中的具体应用。

几何应用

平面图形面积

基本公式：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则曲线 $y = f(x)$ 与 $x$ 轴在 $[a, b]$ 上围成的面积为：

$S = \int_a^b |f(x)| dx$

注意：使用绝对值是为了处理函数值为负的情况。

面积计算的例子

例子 1：求曲线 $y = x^2$ 在区间 $[0, 1]$ 上与 $x$ 轴围成的面积。

解：

• $f(x) = x^2 \geq 0$ 在 $[0, 1]$ 上
• $S = \int_0^1 x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{3}$

例子 2：求曲线 $y = \sin x$ 在区间 $[0, \pi]$ 上与 $x$ 轴围成的面积。

解：

• $\sin x \geq 0$ 在 $[0, \pi]$ 上
• $S = \int_0^{\pi} \sin x dx = [-\cos x]_0^{\pi} = -\cos \pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$

例子 3：求曲线 $y = x^3 - x$ 在区间 $[-1, 1]$ 上与 $x$ 轴围成的面积。

解：

• 函数在 $[-1, 0]$ 上为正，在 $[0, 1]$ 上为负
• $S = \int_{-1}^0 (x^3 - x) dx + \int_0^1 -(x^3 - x) dx$
• $= [\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}]_{-1}^0 + [-\frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2}]_0^1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

平面曲线弧长

基本公式：设曲线 $y = f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可导，则弧长为：

$L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$

弧长计算的例子

例子 1：求曲线 $y = x^2$ 在区间 $[0, 1]$ 上的弧长。

解：

• $f'(x) = 2x$
• $L = \int_0^1 \sqrt{1 + (2x)^2} dx = \int_0^1 \sqrt{1 + 4x^2} dx$
• 设 $u = 2x$，则 $du = 2 dx$
• $L = \frac{1}{2}\int_0^2 \sqrt{1 + u^2} du = \frac{1}{2}[\frac{u}{2}\sqrt{1 + u^2} + \frac{1}{2}\ln(u + \sqrt{1 + u^2})]_0^2$
• $= \frac{1}{2}(\sqrt{5} + \frac{1}{2}\ln(2 + \sqrt{5}))$

例子 2：求曲线 $y = \sqrt{x}$ 在区间 $[0, 4]$ 上的弧长。

解：

• $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $L = \int_0^4 \sqrt{1 + (\frac{1}{2\sqrt{x}})^2} dx = \int_0^4 \sqrt{1 + \frac{1}{4x}} dx$
• 设 $u = \sqrt{x}$，则 $du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$
• $L = 2\int_0^2 \sqrt{1 + \frac{1}{4u^2}} \cdot 2u du = 4\int_0^2 \sqrt{u^2 + \frac{1}{4}} du$

旋转体体积

基本公式：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则曲线 $y = f(x)$ 绕 $x$ 轴旋转一周形成的旋转体体积为：

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$

旋转体体积的例子

例子 1：求曲线 $y = x^2$ 在区间 $[0, 1]$ 上绕 $x$ 轴旋转一周形成的旋转体体积。

解：

• $V = \pi \int_0^1 (x^2)^2 dx = \pi \int_0^1 x^4 dx = \pi [\frac{x^5}{5}]_0^1 = \frac{\pi}{5}$

例子 2：求曲线 $y = \sin x$ 在区间 $[0, \pi]$ 上绕 $x$ 轴旋转一周形成的旋转体体积。

解：

• $V = \pi \int_0^{\pi} \sin^2 x dx = \pi \int_0^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx$
• $= \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} (1 - \cos 2x) dx = \frac{\pi}{2}[x - \frac{1}{2}\sin 2x]_0^{\pi} = \frac{\pi^2}{2}$

物理应用

功的计算

基本公式：如果力 $F(x)$ 沿 $x$ 轴方向作用，物体从 $a$ 移动到 $b$，则做功为：

$W = \int_a^b F(x) dx$

功的计算例子

例子 1：弹簧力 $F(x) = kx$（$k$ 为弹簧常数），求将弹簧从 $x = 0$ 拉伸到 $x = a$ 所做的功。

解：

• $W = \int_0^a kx dx = k[\frac{x^2}{2}]_0^a = \frac{ka^2}{2}$

例子 2：万有引力 $F(r) = \frac{GMm}{r^2}$，求将物体从 $r = a$ 移动到 $r = b$ 所做的功。

解：

• $W = \int_a^b \frac{GMm}{r^2} dr = GMm[-\frac{1}{r}]_a^b = GMm(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})$

质心计算

基本公式：设平面图形的密度为 $\rho(x)$，则质心的 $x$ 坐标为：

$\bar{x} = \frac{\int_a^b x \rho(x) dx}{\int_a^b \rho(x) dx}$

均匀密度：如果密度均匀，则：

$\bar{x} = \frac{\int_a^b x f(x) dx}{\int_a^b f(x) dx}$

质心计算的例子

例子 1：求曲线 $y = x^2$ 在区间 $[0, 1]$ 上与 $x$ 轴围成图形的质心。

解：

• 面积 $A = \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$
• 静矩 $M = \int_0^1 x \cdot x^2 dx = \int_0^1 x^3 dx = \frac{1}{4}$
• 质心坐标 $\bar{x} = \frac{M}{A} = \frac{1/4}{1/3} = \frac{3}{4}$

平均值计算

基本公式：函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值为：

$\bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$

平均值计算的例子

例子 1：求函数 $f(x) = \sin x$ 在区间 $[0, \pi]$ 上的平均值。

解：

• $\bar{f} = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \sin x dx = \frac{1}{\pi}[-\cos x]_0^{\pi} = \frac{1}{\pi}(1 + 1) = \frac{2}{\pi}$

例子 2：求函数 $f(x) = x^2$ 在区间 $[0, 2]$ 上的平均值。

解：

• $\bar{f} = \frac{1}{2} \int_0^2 x^2 dx = \frac{1}{2}[\frac{x^3}{3}]_0^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$

其他应用

概率论中的应用

概率密度函数：设 $f(x)$ 是概率密度函数，则：

1. 归一化条件：$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1$
2. 概率计算：$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx$
3. 期望值：$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$

经济学中的应用

消费者剩余：设需求函数为 $p = D(q)$，供给函数为 $p = S(q)$，则消费者剩余为：

$CS = \int_0^{q^*} [D(q) - p^*] dq$

其中 $q^*$ 是均衡数量，$p^*$ 是均衡价格。

生产者剩余：生产者剩余为：

$PS = \int_0^{q^*} [p^* - S(q)] dq$

生物学中的应用

种群增长：设 $N(t)$ 是时刻 $t$ 的种群数量，则从时刻 $a$ 到时刻 $b$ 的种群增长为：

$\Delta N = \int_a^b N'(t) dt$

药物浓度：设 $C(t)$ 是时刻 $t$ 的药物浓度，则药物在体内的总量为：

$A = \int_0^T C(t) dt$

练习题

练习 1

求曲线 $y = x^2$ 在区间 $[0, 2]$ 上与 $x$ 轴围成的面积。

练习 2

求曲线 $y = \sqrt{x}$ 在区间 $[0, 4]$ 上的弧长。

练习 3

求曲线 $y = x^3$ 在区间 $[0, 1]$ 上绕 $x$ 轴旋转一周形成的旋转体体积。

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总结

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中英对照