深度专题：数值积分

牛顿-莱布尼茨公式要求我们”找得到原函数”。但现实中很多重要的积分——比如 $\int e^{-x^2} dx$ （正态分布）、 $\int \frac{\sin x}{x} dx$ ——没有初等原函数。这时就需要回到积分的本质：把面积近似地算出来。这就是数值积分。

从黎曼和说起

定积分的定义本身就是一种近似：把区间分割，用矩形面积求和。

黎曼和

将区间 $[a, b]$ 等分为 $n$ 份，每份宽 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ ，取分点 $x_i = a + i\Delta x$ ，则

$R_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\, \Delta x$

当 $n \to \infty$ 时，若极限存在，即为定积分 $\int_a^b f(x)\, dx$ 。

实际计算中， $n$ 取有限值时 $R_n$ 就是积分的近似值。根据取样点 $\xi_i$ 的选取方式不同，有：

左端点黎曼和： $\xi_i = x_{i-1}$ ，通常偏小（函数递增时）
右端点黎曼和： $\xi_i = x_i$ ，通常偏大（函数递增时）
中点黎曼和： $\xi_i = \frac{x_{i-1} + x_i}{2}$ ，精度更高

矩形法的思想是”用直线段顶部的矩形近似曲线下方的面积”，误差来自矩形与曲线之间的空隙。

梯形法则：用直线近似

比矩形更聪明一点的做法：每个小区间用梯形近似曲边梯形。

梯形法则

$\int_a^b f(x)\, dx \approx T_n = \frac{\Delta x}{2} \left[ f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$

其中 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ 。两端的函数值只乘一次，中间的每个函数值出现两次（因为相邻两梯形各共享一个端点）。

辛普森法则：用抛物线近似

梯形法则用直线连接相邻点，辛普森法则更进一步：每三个点（两个小区间）用一条抛物线近似。这使精度大幅提升。

辛普森法则

$\int_a^b f(x)\, dx \approx S_n = \frac{\Delta x}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \cdots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$

注意：辛普森法则要求 $n$ 为偶数。系数交替为 $4, 2, 4, 2, \ldots, 4$ ，两端各为 $1$ 。

三种方法的精度对比：矩形法误差为

O(1/n)

，梯形法为

O(1/n^2)

，辛普森法为

O(1/n^4)

。因此相同分割数下，辛普森法则通常最精确。

数值积分的应用场景

统计学：正态分布的概率 $P(a \le X \le b) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b e^{-x^2/2} dx$ 没有初等原函数，只能用数值积分。
物理学：许多势能、电场、辐射积分无解析解。
工程计算：无法解析求原函数的曲线面积、体积、形心。

典型应用

应用：用三种方法近似 $\int_0^1 e^{x^2} dx$ （ $n = 4$ ）

参考答案(3 个标签)

数值积分梯形法则辛普森法则

解题思路： $n = 4$ ， $\Delta x = 0.25$ ，分点 $x_0 = 0, x_1 = 0.25, x_2 = 0.5, x_3 = 0.75, x_4 = 1$ 。计算各点函数值后代入公式。

详细步骤：

函数值： $f(0) = 1$ ， $f(0.25) = e^{0.0625} \approx 1.0645$ ， $f(0.5) = e^{0.25} \approx 1.2840$ ， $f(0.75) = e^{0.5625} \approx 1.7551$ ， $f(1) = e \approx 2.7183$
梯形法则： $T_4 = \frac{0.25}{2}[1 + 2(1.0645 + 1.2840 + 1.7551) + 2.7183] \approx 0.125 \times 11.7265 \approx 1.4658$
辛普森法则： $S_4 = \frac{0.25}{3}[1 + 4(1.0645 + 1.7551) + 2(1.2840) + 2.7183] \approx 0.08333 \times 17.4291 \approx 1.4524$
精确值约 $1.4627$ ，可见辛普森结果已非常接近

答案： $T_4 \approx 1.4658$ ， $S_4 \approx 1.4524$ （精确值约 $1.4627$ ）

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\Delta x$	数学符号	delta x	小区间的宽度（步长）
$n$	数学符号	n	区间等分的份数
$x_i$	数学符号	x-sub-i	第 $i$ 个分点
$\xi_i$	希腊字母	Xi-sub-i（克西）	第 $i$ 个小区间上的取样点
$R_n$	数学符号	R-sub-n	黎曼和
$T_n$	数学符号	T-sub-n	梯形法则近似值
$S_n$	数学符号	S-sub-n	辛普森法则近似值
$\sum_{i=1}^{n}$	数学符号	sum from i=1 to n	求和符号
$e$	数学符号	Euler’s number	自然对数的底数
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	圆周率
$P(a \le X \le b)$	数学符号	probability	随机变量落在区间内的概率

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
数值积分	numerical integration	/njuːˈmerɪkəl ˌɪntɪˈɡreɪʃən/	用数值方法近似计算积分
黎曼和	Riemann sum	/ˈriːmɑːn sʌm/	定积分定义中的分割求和
梯形法则	trapezoidal rule	/ˌtræpɪˈzɔɪdl ruːl/	用梯形近似积分的方法
辛普森法则	Simpson’s rule	/ˈsɪmpsənz ruːl/	用抛物线近似积分的方法
步长	step size	/step saɪz/	相邻分点之间的距离
误差估计	error estimate	/ˈerə ˈestɪmət/	对近似误差的估计
初等函数	elementary function	/ˌelɪˈmentəri ˈfʌŋkʃən/	基本函数经有限次运算组合
正态分布	normal distribution	/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃən/	最重要的概率分布之一

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