积分的比较性质

积分的比较性质允许我们通过比较被积函数来比较积分值。

基本定理

定理5

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x) \leq g(x)$ ，则：

$\int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x) dx$

应用例子

例子：比较 $\int_0^1 x^2 dx$ 和 $\int_0^1 x dx$

解：

在 $[0, 1]$ 上， $x^2 \leq x$ （因为 $x^2 - x = x(x-1) \leq 0$ ）
根据比较性质： $\int_0^1 x^2 dx \leq \int_0^1 x dx$
计算得： $\frac{1}{3} \leq \frac{1}{2}$ ，确实成立

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\int_a^b$	数学符号	integral from a to b	区间 $[a, b]$ 上的定积分
$f(x), g(x)$	数学符号	f/g of x	参与比较的两个被积函数
$[a, b]$	数学符号	closed interval	闭区间
$dx$	数学符号	differential of x	积分变量 $x$ 的微分元素
$\leq$	数学符号	less than or equal to	小于或等于

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
比较性质	comparison property	/kəmˈpærɪsən ˈprɒpəti/	函数大小关系保持到积分大小关系
连续	continuous	/kənˈtɪnjuəs/	函数不间断的性质
不等式	inequality	/ˌɪnɪˈkwɒləti/	大小关系的不等号式子
被积函数	integrand	/ˈɪntɪɡrænd/	积分号内的函数

积分中值定理

积分中值定理：存在 ξ 使积分等于函数值乘以区间长度的证明与几何意义。

积分的绝对值性质

积分的绝对值不等式：|∫f| ≤ ∫|f| 的证明与使用场景。