练习题

解题思路： 本题考查积分上限函数的求导，直接使用牛顿-莱布尼茨公式：若 $F(x) = \int_a^x g(t) \, dt$ 且 $g$ 连续，则 $F'(x) = g(x)$。

详细步骤：

1. 识别积分上限函数的形式：$F(x) = \int_0^x t^2 \, dt$，其中被积函数 $g(t) = t^2$。
2. 由牛顿-莱布尼茨公式，$F'(x) = g(x) = x^2$。
3. 代入检验：直接对 $F(x) = \frac{x^3}{3}$ 求导同样得到 $x^2$，两者一致。

最终答案： $F'(x) = x^2$。

解题思路： 同样考查积分上限函数求导。下限 $1$ 是常数，求导时只有上限 $x$ 参与变化，因此直接套用牛顿-莱布尼茨公式即可。

详细步骤：

1. 被积函数 $g(t) = \frac{1}{t^2} = t^{-2}$，下限 $a = 1$ 为常数。
2. 由牛顿-莱布尼茨公式，$F'(x) = g(x) = \frac{1}{x^2}$。
3. 验证：由 $F(x) = \int_1^x t^{-2} dt = [-t^{-1}]_1^x = 1 - \frac{1}{x}$，求导得 $\frac{1}{x^2}$，结论一致。

最终答案： $F'(x) = \frac{1}{x^2}$。

解题思路： 本题的上限是复合函数 $x^3$，需要先用链式法则对上限求导，再乘以被积函数在该上限处的值。

详细步骤：

1. 被积函数 $g(t) = \cos t$，上限为 $\varphi(x) = x^3$，其导数 $\varphi'(x) = 3x^2$。
2. 由复合形式的牛顿-莱布尼茨公式，$F'(x) = g(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x) = \cos(x^3) \cdot 3x^2$。
3. 验证：先对 $x$ 求导得 $F(x) = \sin(x^3)$，再求导得 $3x^2 \cos(x^3)$，与结论一致。

最终答案： $F'(x) = 3x^2 \cos(x^3)$。

解题思路： 先用牛顿-莱布尼茨公式求出一阶导数 $f'(x)$，再对 $f'(x)$ 求导得到二阶导数。判断极值点时，因为 $f''(0) = 0$ 不能直接下结论，需要进一步考察 $f'$ 在 $x = 0$ 两侧的符号。

详细步骤：

1. 一阶导数：$f'(x) = e^{-x^2} \cos x$，故 $f'(0) = e^{0} \cdot 1 = 1$。
2. 二阶导数：由乘积求导法则，$f''(x) = (-2x) e^{-x^2} \cos x + e^{-x^2}(-\sin x) = -2x e^{-x^2} \cos x - e^{-x^2} \sin x$，故 $f''(0) = 0$。
3. 极值判断：$f''(0) = 0$ 只说明驻点，不能判定极值。改看 $f'(x) = e^{-x^2} \cos x$，由于 $e^{-x^2} > 0$ 恒成立，而 $\cos x$ 在 $x = 0$ 的充分小邻域内恒为正，故 $f'$ 在 $x = 0$ 两侧同为正，$f$ 单调递增。
4. 因此 $x = 0$ 不是 $f(x)$ 的极值点。

最终答案： $f'(0)=1$，$f''(0)=0$，$x=0$ 不是极值点。

解题思路： 把已知极限看成 $0/0$ 型未定式，用洛必达法则把 $\frac{f(x)}{\ln x}$ 化为 $\frac{f'(x)}{1/x}$，再令 $x \to 1$ 即可得到 $f'(1)$。

详细步骤：

1. 当 $x \to 1$ 时，$\ln x \to 0$；又 $f(1) = \int_0^1 e^{t^2} \sin t \, dt$，其值非零，但可用洛必达法则化简极限。
2. 洛必达法则：$\lim\limits_{x\to1} \frac{f(x)}{\ln x} = \lim\limits_{x\to1} \frac{f'(x)}{\frac{1}{x}}$。
3. 先由牛顿-莱布尼茨公式求导：$f'(x) = e^{x^2} \sin x$，于是 $\frac{f'(x)}{1/x} = x e^{x^2} \sin x$。
4. 令 $x \to 1$，得 $\lim\limits_{x\to1} x e^{x^2} \sin x = 1 \cdot e \cdot \sin 1 = e \sin 1$。
5. 由题设该极限值为 $1$，故 $f'(1) = e \sin 1$。

最终答案： $f'(1) = e \sin 1$。

解题思路： 题目同时给出了参数方程与积分表达式，需要看清求导对象。要求的 $f'(0)$ 由积分表达式 $f(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt$ 决定，对它用牛顿-莱布尼茨公式即可；参数方程描述的是另一条曲线，不影响本问结论。

详细步骤：

1. 由积分表达式对上限求导：$f'(x) = e^{x^2} \sin x$。
2. 代入 $x = 0$：$f'(0) = e^{0} \cdot \sin 0 = 0$。
3. 注意 $x = 0$ 正是参数方程中 $t = 0$ 对应的点，该处 $\sin t = 0$，与积分表达式给出的导数值 $0$ 一致。

最终答案： $f'(0) = 0$。

解题思路： 先由牛顿-莱布尼茨公式得到一阶导数，再对被积函数关于上限复合后求导得到二阶导数。整个过程不需要真的算出原函数。

详细步骤：

1. 一阶导数：$f'(x) = e^{\cos x}$。
2. 二阶导数：$f''(x) = \frac{d}{dx} e^{\cos x} = e^{\cos x} \cdot (-\sin x)$。
3. 验证要点：链式法则的内层导数为 $(-\sin x)$，切勿漏掉负号。

最终答案： $f'(x)=e^{\cos x}$，$f''(x)=-e^{\cos x}\sin x$。

解题思路： 先用牛顿-莱布尼茨公式求一阶导数，再对乘积 $e^{x^2} \sin x$ 用乘积求导法则求二阶导数，注意保留两个导数因子。

详细步骤：

1. 一阶导数：$f'(x) = e^{x^2} \sin x$。
2. 二阶导数：对乘积求导，$f''(x) = (e^{x^2})' \sin x + e^{x^2} (\sin x)' = 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x$。
3. 其中 $(e^{x^2})' = 2x e^{x^2}$，$(\sin x)' = \cos x$。

最终答案： $f'(x) = e^{x^2} \sin x$，$f''(x) = 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x$。

解题思路： 本题的关键是分辨条件的主次：所求的 $f'(1)$ 由积分表达式 $f(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt$ 唯一确定，微分方程与初值是干扰条件，不参与计算。

详细步骤：

1. 由牛顿-莱布尼茨公式，$f'(x) = e^{x^2} \sin x$。
2. 代入 $x = 1$：$f'(1) = e^{1} \cdot \sin 1 = e \sin 1$。
3. 说明：所给微分方程 $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x}}y + 2 + \sqrt{x}$ 与初值 $y(1) = 3$ 描述的是另一个函数，与本题所求的 $f$ 无关，因此不参与运算。

最终答案： $f'(1) = e \sin 1$。

解题思路： 所求的 $F'(0)$ 与 $F''(0)$ 只由积分表达式决定。题给的函数方程 $f(x+2)-f(x)=x$ 与积分条件 $\int_0^2 f(x)dx = 0$ 描述的是另一个函数 $f$，属于干扰条件，只需用牛顿-莱布尼茨公式与乘积求导法则处理积分表达式。

详细步骤：

1. 一阶导数：$F'(x) = e^{x^2} \sin x$，故 $F'(0) = e^{0} \sin 0 = 0$。
2. 二阶导数：$F''(x) = (e^{x^2})' \sin x + e^{x^2}(\sin x)' = 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x$。
3. 代入 $x = 0$：$F''(0) = 0 \cdot e^{0} \sin 0 + e^{0} \cos 0 = 1$。
4. 说明：函数方程与 $\int_0^2 f(x)dx = 0$ 给出的是 $f$ 的信息，与 $F$ 的导数无关。

最终答案： $F'(0) = 0$，$F''(0) = 1$。