利用对称性

利用函数的对称性可以大大简化定积分的计算。

偶函数的积分

偶函数的积分性质：如果 $f(x)$ 是偶函数（即 $f(-x) = f(x)$ ），则：

$\int_{-a}^a f(x) dx = 2\int_0^a f(x) dx$

证明：利用积分的区间可加性和偶函数的性质。

奇函数的积分性质：如果 $f(x)$ 是奇函数（即 $f(-x) = -f(x)$ ），则：

$\int_{-a}^a f(x) dx = 0$

证明：利用积分的区间可加性和奇函数的性质。

例子 1：计算 $\int_{-1}^1 x^2 dx$

解：

例子 2：计算 $\int_{-2}^2 x^3 dx$

解：

利用对称性计算 $\int_{-2}^2 x^4 dx$ 。

参考答案

解题思路：利用偶函数的积分性质。

详细步骤：

$f(x) = x^4$ 是偶函数
$\int_{-2}^2 x^4 dx = 2\int_0^2 x^4 dx = 2[\frac{x^5}{5}]_0^2 = 2 \cdot \frac{32}{5} = \frac{64}{5}$

答案： $\frac{64}{5}$

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\int_{-a}^a$	数学符号	integral from -a to a	对称区间上的定积分
$f(x)$	数学符号	f of x	被积函数
$f(-x)$	数学符号	f of minus x	函数在 $-x$ 处的取值
$a$	数学符号	a	对称区间的半径
$dx$	数学符号	differential of x	积分变量 $x$ 的微分元素
$x^n$	数学符号	x to the n	$x$ 的 $n$ 次幂

中文术语	英文术语	音标	说明
偶函数	even function	/ˈiːvən ˈfʌŋkʃən/	满足 $f(-x) = f(x)$ 的函数
奇函数	odd function	/ɒd ˈfʌŋkʃən/	满足 $f(-x) = -f(x)$ 的函数
对称性	symmetry	/ˈsɪmətri/	图形或性质关于某轴（点）的对称
对称区间	symmetric interval	/sɪˈmetrɪk ˈɪntəvəl/	关于原点对称的区间 $[-a, a]$
区间可加性	additivity over intervals	/ˌædɪˈtɪvəti ˈəʊvə ˈɪntəvəlz/	大区间积分可拆分
奇偶性	parity	/ˈpærəti/	函数关于原点的对称性质