积分的绝对值性质

积分的绝对值性质描述了积分的绝对值与绝对值的积分之间的关系。

基本定理

定理6

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则：

$\left|\int_a^b f(x) dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| dx$

应用例子

例子：估计 $\int_0^1 \sin(\pi x) dx$ 的绝对值

解：

$|\sin(\pi x)| \leq 1$ 在 $[0, 1]$ 上成立
根据绝对值性质： $\left|\int_0^1 \sin(\pi x) dx\right| \leq \int_0^1 |\sin(\pi x)| dx \leq \int_0^1 1 dx = 1$
实际上， $\int_0^1 \sin(\pi x) dx = [-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)]_0^1 = \frac{2}{\pi} \approx 0.637$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\left	\int_a^b f(x) dx\right	$	数学符号
$\int_a^b \\|f(x)\\| dx$	数学符号	integral of absolute value of f	被积函数绝对值的积分
$f(x)$	数学符号	f of x	被积函数
$[a, b]$	数学符号	closed interval	闭区间
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	圆周率
$\sin(\pi x)$	数学符号	sine of pi x	正弦函数，被积函数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
绝对值性质	absolute value property	/ˈæbsəluːt ˈvæljuː ˈprɒpəti/	积分绝对值不超过绝对值积分
绝对值不等式	absolute value inequality	/ˈæbsəluːt ˈvæljuː ˌɪnɪˈkwɒləti/	形如 $\\|∫f\\| \le ∫\\|f\\|$ 的不等式
连续	continuous	/kənˈtɪnjuəs/	函数不间断的性质
被积函数	integrand	/ˈɪntɪɡrænd/	积分号内的函数

积分的比较性质

若 f(x)≤g(x)，则积分也满足同样大小关系——积分比较性质的证明与例题。

积分的单调性

被积函数非负时，积分随区间增大而增大——积分单调性的条件与证明。