积分的绝对值性质

解题思路：先用绝对值性质把积分值的绝对值换成被积函数绝对值的积分，再用 $|f(x)| \leq 1$ 与比较性质把这个积分与 $\int_0^1 1 dx$ 比较即可。

详细步骤：

1. 由绝对值性质：$\left|\int_0^1 f(x) dx\right| \leq \int_0^1 |f(x)| dx$。
2. 在 $[0, 1]$ 上恒有 $|f(x)| \leq 1$，由比较性质得 $\int_0^1 |f(x)| dx \leq \int_0^1 1 dx = [x]_0^1 = 1$。
3. 把两步合起来即得结论。

最终答案：$\left|\int_0^1 f(x) dx\right| \leq 1$

解题思路：$f$ 在 $[0, 1]$ 上变号，所以两个积分要分段计算：$\int_0^1 f(x) dx$ 直接用原函数，$\int_0^1 |f(x)| dx$ 则要在 $x = \frac{1}{2}$ 处分成两段。

详细步骤：

1. 先算原积分：$\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 (x - \frac{1}{2}) dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x}{2}\right]_0^1 = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) - 0 = 0$，故 $\left|\int_0^1 f(x) dx\right| = 0$。
2. 在 $[0, \frac{1}{2}]$ 上 $|f(x)| = \frac{1}{2} - x$，在 $[\frac{1}{2}, 1]$ 上 $|f(x)| = x - \frac{1}{2}$。
3. 分段积分：$\int_0^1 |f(x)| dx = \int_0^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} - x) dx + \int_{\frac{1}{2}}^1 (x - \frac{1}{2}) dx = \left[\frac{x}{2} - \frac{x^2}{2}\right]_0^{\frac{1}{2}} + \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x}{2}\right]_{\frac{1}{2}}^1 = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$。
4. 比较得 $0 = \left|\int_0^1 f(x) dx\right| < \frac{1}{4} = \int_0^1 |f(x)| dx$，不等式严格成立，因为 $f$ 在 $[0, 1]$ 上变号（绝对值不等式取等要求 $f$ 在整个区间上不变号）。

最终答案：$\left|\int_0^1 f(x) dx\right| = 0 < \frac{1}{4} = \int_0^1 |f(x)| dx$，绝对值不等式严格成立

解题思路：把绝对值性质给出的上界 $\int_a^b |f(x)| dx$ 再用比较性质压到常数上：连续函数在闭区间上能取到最大绝对值 $M$，于是 $|f(x)| \leq M$ 处处成立，积分不超过 $M(b-a)$。

详细步骤：

1. 记 $M = \max_{x \in [a, b]} |f(x)|$。由于 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，$|f|$ 也连续，由闭区间上连续函数的最大值定理，$M$ 存在且 $M \geq 0$。
2. 由绝对值性质：$\left|\int_a^b f(x) dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| dx$。
3. 在 $[a, b]$ 上处处有 $|f(x)| \leq M$，由比较性质：$\int_a^b |f(x)| dx \leq \int_a^b M dx = M(b - a)$。
4. 合并两步即得 $\left|\int_a^b f(x) dx\right| \leq (b - a)M$。
5. 等号条件：取等要求上面两步同时取等。其一，$\int_a^b |f(x)| dx = M(b-a)$ 要求 $|f(x)| \equiv M$（否则由连续性，$|f|$ 在某点严格小于 $M$，在该点的邻域内 $|f|$ 有一个正的间隙，积分便严格小于 $M(b-a)$）；其二，$\left|\int_a^b f(x) dx\right| = \int_a^b |f(x)| dx$ 要求 $f$ 在 $[a, b]$ 上不变号。两者合起来就是 $f$ 恒等于 $M$ 或恒等于 $-M$。

最终答案：$\left|\int_a^b f(x) dx\right| \leq (b - a) M$，其中 $M = \max_{x \in [a, b]} |f(x)|$；等号成立当且仅当 $f(x) \equiv M$ 或 $f(x) \equiv -M$