积分的周期性

解题思路：$\sin x$ 的周期为 $2\pi$，在完整周期上的积分为 $0$。把 $[0, 3\pi]$ 用区间可加性拆成”一个完整周期”加上”半个周期”，后一段由周期性平移到 $[0, \pi]$ 上计算。

详细步骤：

1. $\sin x$ 的周期为 $T = 2\pi$，一个完整周期上的积分为 $\int_0^{2\pi} \sin x dx = [-\cos x]_0^{2\pi} = -\cos 2\pi + \cos 0 = -1 + 1 = 0$。
2. 由区间可加性：$\int_0^{3\pi} \sin x dx = \int_0^{2\pi} \sin x dx + \int_{2\pi}^{3\pi} \sin x dx$。
3. 第二段的区间长度恰好是一个周期，由周期性把它平移到 $[0, \pi]$：$\int_{2\pi}^{3\pi} \sin x dx = \int_0^{\pi} \sin x dx = [-\cos x]_0^{\pi} = -\cos \pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$。
4. 合并得 $\int_0^{3\pi} \sin x dx = 0 + 2 = 2$。

最终答案：$2$

解题思路：取绝对值后周期缩短为 $\pi$，于是 $[0, 2\pi]$ 上正好含两个周期；再注意到在 $[0, \pi]$ 上 $\sin x \geq 0$，绝对值可以去掉。

详细步骤：

1. 由于 $|\sin(x + \pi)| = |-\sin x| = |\sin x|$，故 $|\sin x|$ 的周期为 $T = \pi$。
2. 由区间可加性与周期性：$\int_0^{2\pi} |\sin x| dx = 2\int_0^{\pi} |\sin x| dx$。
3. 在 $[0, \pi]$ 上 $\sin x \geq 0$，故 $|\sin x| = \sin x$，于是 $\int_0^{\pi} |\sin x| dx = \int_0^{\pi} \sin x dx = [-\cos x]_0^{\pi} = -\cos \pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$。
4. 所以 $\int_0^{2\pi} |\sin x| dx = 2 \cdot 2 = 4$。

最终答案：$4$

解题思路：先用区间可加性把长积分拆成 $n$ 个长度均为 $T$ 的小积分，再对每一小段用周期性把起点平移到同一个位置，于是每一段的值都相同。

详细步骤：

1. 由区间可加性：$\int_a^{a+nT} f(x) dx = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{a+kT}^{a+(k+1)T} f(x) dx$。
2. 每个小区间 $[a+kT, a+(k+1)T]$ 的长度都是 $T$，由周期性（该性质对任意起点都成立）：$\int_{a+kT}^{a+(k+1)T} f(x) dx = \int_a^{a+T} f(x) dx$。
3. 于是 $\int_a^{a+nT} f(x) dx = \sum_{k=0}^{n-1} \int_a^{a+T} f(x) dx = n \int_a^{a+T} f(x) dx$。

最终答案：$\int_a^{a+nT} f(x) dx = n \int_a^{a+T} f(x) dx$，对任意正整数 $n$ 与任意实数 $a$ 成立