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一元函数积分学

反常积分

反常积分

反常积分是定积分的推广，它处理的是积分区间无界或被积函数在区间内无界的情况。反常积分在数学分析和实际应用中具有重要意义。

反常积分的概念

基本定义

反常积分

反常积分：当积分区间无界或被积函数在区间内无界时，称为反常积分。

分类：

  1. 第一类反常积分：积分区间无界
  2. 第二类反常积分：被积函数在区间内无界

第一类反常积分

无穷区间上的积分

第一类反常积分

设 f(x)f(x) 在 [a,+∞)[a, +\infty) 上连续，则

∫a+∞f(x)dx=lim⁡b→+∞∫abf(x)dx\int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x) dx

如果极限存在，则称反常积分收敛；否则称发散。

类似地：

  • ∫−∞bf(x)dx=lim⁡a→−∞∫abf(x)dx\int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) dx
  • ∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞cf(x)dx+∫c+∞f(x)dx\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^{+\infty} f(x) dx

收敛性判别法

比较判别法：设 0≤f(x)≤g(x)0 \leq f(x) \leq g(x) 在 [a,+∞)[a, +\infty) 上成立，则：

  1. 如果 ∫a+∞g(x)dx\int_a^{+\infty} g(x) dx 收敛，则 ∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty} f(x) dx 收敛
  2. 如果 ∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty} f(x) dx 发散，则 ∫a+∞g(x)dx\int_a^{+\infty} g(x) dx 发散

极限判别法：设 f(x)≥0f(x) \geq 0，g(x)≥0g(x) \geq 0，且 lim⁡x→+∞f(x)g(x)=L\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L，则：

  1. 如果 0<L<+∞0 < L < +\infty，则 ∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty} f(x) dx 与 ∫a+∞g(x)dx\int_a^{+\infty} g(x) dx 同敛散
  2. 如果 L=0L = 0 且 ∫a+∞g(x)dx\int_a^{+\infty} g(x) dx 收敛，则 ∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty} f(x) dx 收敛
  3. 如果 L=+∞L = +\infty 且 ∫a+∞g(x)dx\int_a^{+\infty} g(x) dx 发散，则 ∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty} f(x) dx 发散

第一类反常积分的例子

例子 1：计算 ∫1+∞1x2dx\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx

解：

  • ∫1+∞1x2dx=lim⁡b→+∞∫1b1x2dx\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{b \to +\infty} \int_1^b \frac{1}{x^2} dx
  • =lim⁡b→+∞[−1x]1b=lim⁡b→+∞(−1b+1)=1= \lim_{b \to +\infty} [-\frac{1}{x}]_1^b = \lim_{b \to +\infty} (-\frac{1}{b} + 1) = 1

例子 2：判断 ∫1+∞1xdx\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx 的收敛性

解：

  • ∫1+∞1xdx=lim⁡b→+∞∫1b1xdx\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{b \to +\infty} \int_1^b \frac{1}{x} dx
  • =lim⁡b→+∞[ln⁡x]1b=lim⁡b→+∞(ln⁡b−0)=+∞= \lim_{b \to +\infty} [\ln x]_1^b = \lim_{b \to +\infty} (\ln b - 0) = +\infty
  • 所以积分发散

例子 3：计算 ∫0+∞e−xdx\int_0^{+\infty} e^{-x} dx

解：

  • ∫0+∞e−xdx=lim⁡b→+∞∫0be−xdx\int_0^{+\infty} e^{-x} dx = \lim_{b \to +\infty} \int_0^b e^{-x} dx
  • =lim⁡b→+∞[−e−x]0b=lim⁡b→+∞(−e−b+1)=1= \lim_{b \to +\infty} [-e^{-x}]_0^b = \lim_{b \to +\infty} (-e^{-b} + 1) = 1

第二类反常积分

无界函数的积分

第二类反常积分

设 f(x)f(x) 在 [a,b)[a, b) 上连续，在 x=bx = b 处无界，则

∫abf(x)dx=lim⁡ε→0+∫ab−εf(x)dx\int_a^b f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^{b-\varepsilon} f(x) dx

如果极限存在，则称反常积分收敛；否则称发散。

类似地：

  • 如果 f(x)f(x) 在 x=ax = a 处无界：∫abf(x)dx=lim⁡ε→0+∫a+εbf(x)dx\int_a^b f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x) dx
  • 如果 f(x)f(x) 在 x=c∈(a,b)x = c \in (a, b) 处无界：∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx

第二类反常积分的例子

例子 1：计算 ∫011xdx\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx

解：

  • f(x)=1xf(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} 在 x=0x = 0 处无界
  • ∫011xdx=lim⁡ε→0+∫ε11xdx\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_\varepsilon^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx
  • =lim⁡ε→0+[2x]ε1=lim⁡ε→0+(2−2ε)=2= \lim_{\varepsilon \to 0^+} [2\sqrt{x}]_\varepsilon^1 = \lim_{\varepsilon \to 0^+} (2 - 2\sqrt{\varepsilon}) = 2

例子 2：判断 ∫011xdx\int_0^1 \frac{1}{x} dx 的收敛性

解：

  • f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} 在 x=0x = 0 处无界
  • ∫011xdx=lim⁡ε→0+∫ε11xdx\int_0^1 \frac{1}{x} dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_\varepsilon^1 \frac{1}{x} dx
  • =lim⁡ε→0+[ln⁡x]ε1=lim⁡ε→0+(0−ln⁡ε)=+∞= \lim_{\varepsilon \to 0^+} [\ln x]_\varepsilon^1 = \lim_{\varepsilon \to 0^+} (0 - \ln \varepsilon) = +\infty
  • 所以积分发散

例子 3：计算 ∫0111−x2dx\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx

解：

  • f(x)=11−x2f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} 在 x=1x = 1 处无界
  • ∫0111−x2dx=lim⁡ε→0+∫01−ε11−x2dx\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_0^{1-\varepsilon} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx
  • =lim⁡ε→0+[arcsin⁡x]01−ε=lim⁡ε→0+(arcsin⁡(1−ε)−0)=π2= \lim_{\varepsilon \to 0^+} [\arcsin x]_0^{1-\varepsilon} = \lim_{\varepsilon \to 0^+} (\arcsin(1-\varepsilon) - 0) = \frac{\pi}{2}

反常积分的性质

线性性质

反常积分的线性性质

设 ∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty} f(x) dx 和 ∫a+∞g(x)dx\int_a^{+\infty} g(x) dx 都收敛，kk 为常数，则：

  1. ∫a+∞[f(x)+g(x)]dx=∫a+∞f(x)dx+∫a+∞g(x)dx\int_a^{+\infty} [f(x) + g(x)] dx = \int_a^{+\infty} f(x) dx + \int_a^{+\infty} g(x) dx
  2. ∫a+∞kf(x)dx=k∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty} k f(x) dx = k \int_a^{+\infty} f(x) dx

绝对收敛

绝对收敛

如果 ∫a+∞∣f(x)∣dx\int_a^{+\infty} |f(x)| dx 收敛，则称 ∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty} f(x) dx 绝对收敛。

绝对收敛与收敛

绝对收敛的反常积分一定收敛。

注意：收敛的反常积分不一定绝对收敛。

收敛性判别法总结

第一类反常积分：

  1. pp 积分：∫1+∞1xpdx\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx 当 p>1p > 1 时收敛，当 p≤1p \leq 1 时发散
  2. 指数积分：∫0+∞e−axdx\int_0^{+\infty} e^{-ax} dx 当 a>0a > 0 时收敛

第二类反常积分：

  1. pp 积分：∫011xpdx\int_0^1 \frac{1}{x^p} dx 当 p<1p < 1 时收敛，当 p≥1p \geq 1 时发散
  2. 对数积分：∫011xln⁡xdx\int_0^1 \frac{1}{x \ln x} dx 发散

反常积分的应用

1. 概率论中的应用

正态分布的归一化： ∫−∞+∞e−x2/2dx=2π\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2} dx = \sqrt{2\pi}

指数分布： ∫0+∞λe−λxdx=1\int_0^{+\infty} \lambda e^{-\lambda x} dx = 1

2. 物理学中的应用

引力势能： ∫r+∞GMmx2dx=GMmr\int_r^{+\infty} \frac{GMm}{x^2} dx = \frac{GMm}{r}

电磁场： ∫0+∞1r2dr=1r0\int_0^{+\infty} \frac{1}{r^2} dr = \frac{1}{r_0}

3. 数学分析中的应用

伽马函数： Γ(s)=∫0+∞xs−1e−xdx\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} x^{s-1} e^{-x} dx

贝塔函数： B(p,q)=∫01xp−1(1−x)q−1dxB(p, q) = \int_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx

常见错误和注意事项

1. 收敛性判断错误

错误：认为所有反常积分都收敛 正确：需要具体判断收敛性

错误：忽略被积函数的无界点 正确：必须考虑所有无界点

2. 计算方法错误

错误：直接使用牛顿-莱布尼茨公式 正确：必须先判断积分类型，再选择合适的方法

错误：忽略极限的存在性 正确：必须验证极限是否存在

3. 积分区间错误

错误：在无界点直接积分 正确：必须使用极限方法

错误：忽略积分的可加性 正确：在多个无界点处需要分别处理

4. 几何意义理解错误

错误：认为反常积分总是表示有限面积 正确：反常积分可能表示无限面积

错误：忽略积分的符号 正确：注意被积函数的符号变化

练习题

练习 1

计算反常积分 ∫1+∞1x3dx\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^3} dx。

反常积分无穷区间积分

解题思路： 使用第一类反常积分的定义。

详细步骤：

  1. ∫1+∞1x3dx=lim⁡b→+∞∫1b1x3dx\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^3} dx = \lim_{b \to +\infty} \int_1^b \frac{1}{x^3} dx
  2. =lim⁡b→+∞[−12x2]1b=lim⁡b→+∞(−12b2+12)=12= \lim_{b \to +\infty} [-\frac{1}{2x^2}]_1^b = \lim_{b \to +\infty} (-\frac{1}{2b^2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}

最终答案：12\frac{1}{2}

练习 2

判断反常积分 ∫011x2dx\int_0^1 \frac{1}{x^2} dx 的收敛性。

反常积分无穷区间积分

解题思路： 使用第二类反常积分的定义。

详细步骤：

  1. f(x)=1x2f(x) = \frac{1}{x^2} 在 x=0x = 0 处无界
  2. ∫011x2dx=lim⁡ε→0+∫ε11x2dx\int_0^1 \frac{1}{x^2} dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_\varepsilon^1 \frac{1}{x^2} dx
  3. =lim⁡ε→0+[−1x]ε1=lim⁡ε→0+(−1+1ε)=+∞= \lim_{\varepsilon \to 0^+} [-\frac{1}{x}]_\varepsilon^1 = \lim_{\varepsilon \to 0^+} (-1 + \frac{1}{\varepsilon}) = +\infty
  4. 所以积分发散

最终答案：积分发散。

练习 3

计算反常积分 ∫0+∞e−2xdx\int_0^{+\infty} e^{-2x} dx。

反常积分无穷区间积分

解题思路： 使用第一类反常积分的定义。

详细步骤：

  1. ∫0+∞e−2xdx=lim⁡b→+∞∫0be−2xdx\int_0^{+\infty} e^{-2x} dx = \lim_{b \to +\infty} \int_0^b e^{-2x} dx
  2. =lim⁡b→+∞[−12e−2x]0b=lim⁡b→+∞(−12e−2b+12)=12= \lim_{b \to +\infty} [-\frac{1}{2}e^{-2x}]_0^b = \lim_{b \to +\infty} (-\frac{1}{2}e^{-2b} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}

最终答案：12\frac{1}{2}

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
∫a+∞\int_a^{+\infty}数学符号integral from a to infinity无穷区间上的反常积分
lim⁡b→+∞\lim_{b \to +\infty}数学符号limit as b goes to infinity上限趋于无穷的极限
ε\varepsilon希腊字母Epsilon（艾普西龙）趋于零的正小量
lim⁡ε→0+\lim_{\varepsilon \to 0^+}数学符号limit as epsilon to 0 from above从右侧趋于零的极限
pp数学符号ppp 积分的指数参数
λ\lambda希腊字母Lambda（兰姆达）指数分布的参数
Γ(s)\Gamma(s)数学符号Gamma of s伽马函数
B(p,q)B(p, q)数学符号Beta of p comma q贝塔函数
π\pi希腊字母Pi（派）圆周率
ee数学符号Euler’s number自然对数的底数
x\sqrt{x}数学符号square root of xxx 的平方根
arcsin⁡x\arcsin x数学符号arc sine of x反正弦函数

中英对照

中文术语英文术语音标说明
反常积分improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/区间无界或被积函数无界的积分
第一类反常积分improper integral of the first kind/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl əv ðə fɜːst kaɪnd/积分区间无界
第二类反常积分improper integral of the second kind/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl əv ðə ˈsekənd kaɪnd/被积函数无界
收敛convergence/kənˈvɜːdʒəns/极限存在
发散divergence/daɪˈvɜːdʒəns/极限不存在或为无穷
比较判别法comparison test/kəmˈpærɪsən test/通过与已知积分比较判敛
极限判别法limit comparison test/ˈlɪmɪt kəmˈpærɪsən test/通过比值极限判敛
绝对收敛absolute convergence/ˈæbsəluːt kənˈvɜːdʒəns/绝对值积分收敛
伽马函数gamma function/ˈɡæmə ˈfʌŋkʃən/阶乘的推广函数
贝塔函数beta function/ˈbiːtə ˈfʌŋkʃən/二重积分定义的函数
归一化normalization/ˌnɔːməlaɪˈzeɪʃən/使总概率为 1
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