利用换元法

换元法是定积分计算中最常用的技巧之一，它通过“更换自变量”把复杂的被积函数（integrand）化成熟悉的形式。

定积分的换元法

换元法的要点

1. 同步变换积分限：换元后必须把 $a,b$ 映射成新的上下限 $\alpha,\beta$，不要忘记回代。
2. 单调与连续：选择在区间内单调、可微的 $\varphi$，并确保 $f(\varphi(t))\varphi'(t)$ 在新区间上连续。
3. 识别结构：对 $\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{x^2\pm a^2}$ 等典型形式，优先尝试三角或双曲换元；对于 $(ax+b)^k$ 这类线性复合函数，则用线性换元即可。
4. 与分部积分结合：当 integrand 同时含幂函数与对数/指数时，可以先通过换元将某个因子化成“可微的变量”，再进行分部积分。

常见换元策略

• 线性换元：$x=at+b$，用于平移、缩放区间。
• 幂函数换元：$x=t^{\,k}$ 或 $t=x^{1/k}$，处理 $x^m\sqrt[n]{x}$。
• 三角换元：$x=a\sin t$、$x=a\tan t$ 等，化简根式 $\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{x^2+a^2}$。
• 指数/对数换元：$x=e^t$、$t=\ln x$，适合含 $\ln x$ 或 $x^\alpha$ 的积分。

应用例子

例子 1：计算 $\int_0^1 x e^{x^2} dx$

解：

1. 设 $u = x^2$，则 $du = 2x\,dx$。
2. 当 $x = 0$ 时，$u = 0$；当 $x = 1$ 时，$u = 1$。
3. $\displaystyle \int_0^1 x e^{x^2} dx = \frac{1}{2}\int_0^1 e^u du = \frac{1}{2}(e - 1)$。

例子 2：计算 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

解：

1. 设 $x = \sin t$，则 $dx = \cos t\,dt$。
2. 当 $x = 0$ 时，$t = 0$；当 $x = 1$ 时，$t = \frac{\pi}{2}$。
3. $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos t}{\cos t} dt = \frac{\pi}{2}$。

例子 3：计算 $\displaystyle \int_1^{e^2} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx$

解：

1. 令 $u=\ln x$，$dv = x^{-1/2}dx = 2\,d(\sqrt{x})$，则 $du=\frac{dx}{x}$，$v=2\sqrt{x}$。
2. 由分部积分得 $\displaystyle \int \frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx = 2\sqrt{x}\ln x - 2\int \sqrt{x}\frac{dx}{x}$。
3. $\displaystyle \int_1^{e^2} \sqrt{x}\frac{dx}{x} = \int_1^{e^2} x^{-1/2}dx = 2(e-1)$。
4. 代入上下限可得结果为 $4$。

练习题

练习 1

利用换元法计算 $\displaystyle \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$。

练习 2

利用换元配合分部积分，求 $\displaystyle \int_1^{e^2} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx$。

练习 3

改编自2022考研数学一填空题

设 $t = \tan \theta$，计算 $\displaystyle \int_0^{\pi/4} \frac{1}{1+\tan^2 \theta}\,d\theta$，并说明换元过程。

总结

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中英对照