凑微分法

凑微分法是处理复合函数积分的重要方法。

适用情况

被积函数可以写成 $f(g(x))g'(x)$ 的形式

例子： $\int x e^{x^2} dx$

解：

设 $u = x^2$ ，则 $du = 2x dx$
$\int x e^{x^2} dx = \frac{1}{2}\int e^u du = \frac{1}{2}e^u + C = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$

使用凑微分法计算 $\int x e^{x^2} dx$ 。

参考答案

解题思路：设 $u = x^2$ ，然后使用凑微分法。

详细步骤：

答案： $\frac{1}{2}e^{x^2} + C$

计算 $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx$ 。

参考答案

解题思路：使用反三角函数积分公式。

详细步骤：

答案： $\arctan x + C$

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\int$	数学符号	integral sign	积分运算符号
$dx$	数学符号	differential of x	积分变量 $x$ 的微分元素
$u$	数学符号	u	换元法中的新变量
$du$	数学符号	differential of u	新变量 $u$ 的微分
$g(x)$	数学符号	g of x	复合函数的内层函数
$g'(x)$	数学符号	g prime of x	内层函数的导数
$f(u)$	数学符号	f of u	以 $u$ 为变量的被积函数
$C$	数学符号	constant of integration	积分常数（任意常数）
$e^u$	数学符号	e to the u	以 $e$ 为底的指数函数
$\arctan x$	数学符号	arc tangent of x	反正切函数

中文术语	英文术语	音标	说明
凑微分法	integration by substitution	/ˌɪntɪˈɡreɪʃən baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃən/	通过凑微分进行换元的方法
复合函数	composite function	/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃən/	函数套函数的组合
换元	substitution	/ˌsʌbstɪˈtjuːʃən/	引入新变量简化积分
回代	back substitution	/bæk ˌsʌbstɪˈtjuːʃən/	换元后恢复原变量
反三角函数	inverse trigonometric function	/ˌɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəˈmetrɪk ˈfʌŋkʃən/	三角函数的反函数