凑微分法

凑微分法是处理复合函数积分的重要方法。

适用情况

适用情况：被积函数可以写成 $f(g(x))g'(x)$ 的形式

基本步骤

识别被积函数中的复合函数部分
设 $u = g(x)$ ，计算 $du = g'(x)dx$
将积分转化为 $\int f(u) du$ 的形式
积分后回代

例子

例子： $\int x e^{x^2} dx$

解：

设 $u = x^2$ ，则 $du = 2x dx$
$\int x e^{x^2} dx = \frac{1}{2}\int e^u du = \frac{1}{2}e^u + C = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$

常见凑微分形式

$\int f(ax + b) dx$ ：设 $u = ax + b$
$\int x f(x^2) dx$ ：设 $u = x^2$
$\int e^{ax} dx$ ：设 $u = ax$
$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx$ ：设 $u = f(x)$

练习题

练习 1

使用凑微分法计算 $\int x e^{x^2} dx$ 。

参考答案

解题思路：设 $u = x^2$ ，然后使用凑微分法。

详细步骤：

设 $u = x^2$ ，则 $du = 2x dx$ ，所以 $dx = \frac{du}{2x}$
$\int x e^{x^2} dx = \int x e^u \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2}\int e^u du$
$\frac{1}{2}\int e^u du = \frac{1}{2}e^u + C = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$

答案： $\frac{1}{2}e^{x^2} + C$

练习 2

计算 $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx$ 。

参考答案

解题思路：使用反三角函数积分公式。

详细步骤：

使用公式： $\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan x + C$
这里被积函数就是 $\frac{1}{1 + x^2}$ 的形式

答案： $\arctan x + C$

上一章节直接积分法下一章节三角恒等变换

课程路线图

1
高等数学之函数探秘
先修课程
函数是高等数学的核心概念，本系列文档系统介绍函数的基本概念、性质和应用。
前往课程
2
数列
先修课程
数列是高等数学的基石，本系列文档系统介绍数列的基本概念、性质、极限理论及其应用。
前往课程
3
高等数学之极限的世界
先修课程
极限是微积分的基础，也是高等数学中最重要的概念之一。
前往课程
4
高等数学之连续
先修课程
连续性知识点的完整学习指南，包含基本概念、间断点分类、初等函数连续性等。
前往课程
5
一元函数微分学
先修课程
一元函数微分学的完整学习指南，包含学习路径、核心概念、常见错误和学习建议。
前往课程
6
一元函数积分学
当前课程
学习不定积分与定积分的理论和计算，并应用于几何与物理问题。
前往课程

下一站

数学考研大纲与真题

探索函数、极限、微积分等核心概念，为科学与工程领域奠定坚实的数学基础。