第二类换元法（三角换元）

解题思路： 分母是 $1+x^2$ 的正整数次幂，令 $x = \tan t$，用恒等式 $1 + \tan^2 t = \sec^2 t$ 把分母化成 $\sec^3 t$，而 $dx = \sec^2 t \, dt$ 恰好约去一个 $\sec t$。适用条件在于 $t$ 必须取在 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内，此区间上 $\sec t > 0$，故 $(1+x^2)^{3/2} = \sec^3 t$ 成立（否则应取 $|\sec t|$ 的立方）。

详细步骤：

1. 令 $x = \tan t$，$t \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$，则 $dx = \sec^2 t \, dt$，且 $1 + x^2 = 1 + \tan^2 t = \sec^2 t$，故 $(1+x^2)^{3/2} = \sec^3 t$。
2. 换元：$\int \frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}} = \int \frac{\sec^2 t}{\sec^3 t} \, dt = \int \cos t \, dt = \sin t + C$。
3. 回代：由 $\tan t = x$ 得 $\sin t = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，故原式 $= \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + C$。
4. 求导验证：$\frac{d}{dx}\left[\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right] = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} - \frac{x^2}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}$，与原被积函数一致。

最终答案：$\int \frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + C$

解题思路： 定积分换元时必须把积分限一起变换。新上限由 $x = 1$ 对应的 $t$ 决定，即 $\tan t = 1$ 给出 $t = \frac{\pi}{4}$；新下限由 $x = 0$ 决定，即 $t = 0$。这一步是定积分换元最常见的失分点。

详细步骤：

1. 令 $x = \tan t$，取 $t \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$，则 $dx = \sec^2 t \, dt$，且 $1+x^2 = 1+\tan^2 t = \sec^2 t$。
2. 变换积分限：$x = 0$ 对应 $\tan t = 0$，即 $t = 0$；$x = 1$ 对应 $\tan t = 1$，即 $t = \frac{\pi}{4}$。
3. 换元并积分：$\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} = \int_0^{\pi/4} \frac{\sec^2 t}{\sec^2 t} \, dt = \int_0^{\pi/4} dt = \left[t\right]_0^{\pi/4} = \frac{\pi}{4}$。
4. 用牛顿-莱布尼茨公式核对：原函数为 $\arctan x$，故 $\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$，与第 3 步一致。

最终答案：$\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{4}$

解题思路： 根式形如 $\sqrt{x^2-a^2}$（本题 $a = 1$），令 $x = a\sec t$，用恒等式 $\sec^2 t - 1 = \tan^2 t$ 化简。适用区间由 $x \ge a$ 决定：取 $t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时 $\sec t \ge 1$ 且 $\tan t \ge 0$，故 $x = \sec t \ge 1$，此时 $\sqrt{x^2-1} = \tan t$ 成立（否则应取 $|\tan t|$）。

详细步骤：

1. 令 $x = \sec t$，取 $t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right)$，则 $dx = \sec t \tan t \, dt$，且 $\sqrt{x^2-1} = \sqrt{\sec^2 t - 1} = \sqrt{\tan^2 t} = \tan t$（该区间内 $\tan t \ge 0$）。
2. 换元：$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} = \int \frac{\sec t \tan t}{\tan t} \, dt = \int \sec t \, dt = \ln|\sec t + \tan t| + C$。
3. 回代：由 $\sec t = x$ 与 $\tan t = \sqrt{x^2-1}$ 得 $\ln|\sec t + \tan t| = \ln|x + \sqrt{x^2-1}|$。
4. 求导验证（$x > 1$ 时 $x + \sqrt{x^2-1} > 0$）：$\frac{d}{dx}\ln\left(x + \sqrt{x^2-1}\right) = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}{x + \sqrt{x^2-1}} = \frac{\sqrt{x^2-1} + x}{\sqrt{x^2-1}\left(x + \sqrt{x^2-1}\right)} = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$，与原被积函数一致。

最终答案：$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} = \ln\left|x + \sqrt{x^2-1}\right| + C$