定义与导数性质

在了解了面积直观之后，需要给积分上限函数一个严格的数学定义，并证明它确实拥有“导数等于被积函数”的关键性质。

定义

积分上限函数

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则函数

$F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$

称为积分上限函数。

定理1

积分上限函数 $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ 在 $[a, b]$ 上可导，且

$F'(x) = f(x)$

这个结论是微积分基本定理的“前半部分”，连接了微分与积分。

$F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_a^{x+h} f(t) \, dt - \int_a^x f(t) \, dt}{h}$

$F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\int_x^{x+h} f(t) \, dt}{h}$

根据积分中值定理，存在 $\xi \in [x, x+h]$ （或 $[x+h, x]$ ），使得

$\int_x^{x+h} f(t) \, dt = f(\xi) \cdot h$

$\xi$ （xi）：希腊字母，读作“克西”。在积分中值定理中表示区间

[x, x+h]

（或

[x+h, x]

）内的某个具体点，用来刻画积分在该区间上的平均取值。

$F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\xi) \cdot h}{h} = \lim_{h \to 0} f(\xi) = f(x)$

至此完成证明。积分上限函数不仅有几何意义，也具备良好的可导性，这为后续的应用与推广奠定了基础。

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$F(x)$	数学符号	F of x	积分上限函数
$\int_a^x f(t) \, dt$	数学符号	integral from a to x	以 $x$ 为上限的定积分
$F'(x)$	数学符号	F prime of x	积分上限函数的导数
$\xi$	希腊字母	Xi（克西）	积分中值定理中的存在点
$\lim_{h \to 0}$	数学符号	limit as h goes to 0	$h$ 趋于零的极限
$h$	数学符号	h	自变量的增量
$f(t)$	数学符号	f of t	被积函数
$[a, b]$	数学符号	closed interval	闭区间

中文术语	英文术语	音标	说明
积分上限函数	upper-limit function	/ˈʌpə ˈlɪmɪt ˈfʌŋkʃən/	以积分上限为自变量的函数
微积分基本定理	fundamental theorem of calculus	/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm əv ˈkælkjʊləs/	联系微分与积分的基本定理
导数	derivative	/dɪˈrɪvətɪv/	函数在某点的变化率
极限	limit	/ˈlɪmɪt/	变量趋近时的取值
可导	differentiable	/ˌdɪfəˈrenʃiəbl/	导数存在的性质
区间可加性	additivity over intervals	/ˌædɪˈtɪvəti ˈəʊvə ˈɪntəvəlz/	大区间积分可拆分
积分中值定理	mean value theorem for integrals	/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm fɔːr ˈɪntɪɡrəlz/	积分等于某点函数值乘以区间长度