无理函数积分

解题思路： 被积函数中的根号是 $\sqrt{x}$，令 $u = \sqrt{x}$ 则 $x = u^2$，$dx = 2u \, du$，根号被完全消去。原来的因子 $x = u^2$ 与 $dx = 2u \, du$ 中的 $u$ 会约掉，被积函数化成简单的有理式。积分完毕后要回代 $u = \sqrt{x}$。

详细步骤：

1. 令 $u = \sqrt{x}$，则 $x = u^2$，$dx = 2u \, du$，且 $\sqrt{x} = u$。
2. 换元：$\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})} = \int \frac{2u \, du}{u(1+u)} = \int \frac{2}{1+u} \, du$。
3. 积分：$\int \frac{2}{1+u} \, du = 2\ln|1+u| + C$。
4. 回代 $u = \sqrt{x}$：由于 $x > 0$ 时 $1+\sqrt{x} > 0$，故原式 $= 2\ln(1+\sqrt{x}) + C$。
5. 求导验证：$\frac{d}{dx}\left[2\ln(1+\sqrt{x})\right] = 2 \cdot \frac{1}{1+\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}$，与原被积函数一致。

最终答案：$\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})} = 2\ln(1+\sqrt{x}) + C$

解题思路： 根式形如 $\sqrt{a^2-x^2}$，令 $x = a\sin t$（本题 $a = 2$）可利用恒等式 $1-\sin^2 t = \cos^2 t$ 把它化为三角函数。取 $t \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 时 $\cos t > 0$，于是 $\sqrt{4-4\sin^2 t} = 2\cos t$，不必再加绝对值。

详细步骤：

1. 令 $x = 2\sin t$，取 $t \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$，则 $dx = 2\cos t \, dt$，且 $\sqrt{4-x^2} = \sqrt{4-4\sin^2 t} = \sqrt{4\cos^2 t} = 2\cos t$。
2. 换元：$\int \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} = \int \frac{2\cos t \, dt}{2\cos t} = \int dt = t + C$。
3. 回代：由 $x = 2\sin t$ 得 $\sin t = \frac{x}{2}$，故 $t = \arcsin\frac{x}{2}$。
4. 求导验证：$\frac{d}{dx}\arcsin\frac{x}{2} = \frac{1/2}{\sqrt{1-x^2/4}} = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$，与原被积函数一致。

最终答案：$\int \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} = \arcsin\frac{x}{2} + C$

解题思路： 根式形如 $\sqrt{x^2+a^2}$，令 $x = a\tan t$，则 $\sqrt{x^2+a^2} = a\sec t$，积分化为 $\int \sec^3 t \, dt$。后者用分部积分计算：$\int \sec^3 t \, dt = \frac{1}{2}\left(\sec t \tan t + \ln|\sec t + \tan t|\right) + C$。最后回代并用求导验证。

详细步骤：

1. 令 $x = a\tan t$，取 $t \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$，则 $dx = a\sec^2 t \, dt$，且 $\sqrt{x^2+a^2} = \sqrt{a^2\tan^2 t + a^2} = a\sec t$（此区间内 $\sec t > 0$）。
2. 换元：$\int \sqrt{x^2+a^2} \, dx = a^2 \int \sec^3 t \, dt$。
3. 分部积分计算 $\int \sec^3 t \, dt$：设 $u = \sec t$，$dv = \sec^2 t \, dt$，则 $\int \sec^3 t \, dt = \sec t \tan t - \int \sec t \tan^2 t \, dt = \sec t \tan t - \int \sec^3 t \, dt + \int \sec t \, dt$，移项得 $\int \sec^3 t \, dt = \frac{1}{2}\left(\sec t \tan t + \ln|\sec t + \tan t|\right) + C$。
4. 代入得 $\int \sqrt{x^2+a^2} \, dx = \frac{a^2}{2}\left(\sec t \tan t + \ln|\sec t + \tan t|\right) + C$。
5. 回代：由 $\tan t = \frac{x}{a}$ 得 $\sec t = \frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}$，故 $\frac{a^2}{2}\sec t \tan t = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}$；而 $\ln|\sec t + \tan t| = \ln\left|\frac{\sqrt{x^2+a^2}+x}{a}\right| = \ln|x+\sqrt{x^2+a^2}| - \ln a$，其中 $-\ln a$ 是常数，合并入 $C$。
6. 求导验证：记 $S = \sqrt{x^2+a^2}$，则 $\frac{d}{dx}\left[\frac{xS}{2} + \frac{a^2}{2}\ln|x+S|\right] = \frac{S}{2} + \frac{x^2}{2S} + \frac{a^2}{2} \cdot \frac{1 + x/S}{x+S}$。因 $\frac{1 + x/S}{x+S} = \frac{S+x}{S(x+S)} = \frac{1}{S}$，故原式 $= \frac{S}{2} + \frac{x^2}{2S} + \frac{a^2}{2S} = \frac{S}{2} + \frac{x^2+a^2}{2S} = \frac{S}{2} + \frac{S}{2} = S$，与原被积函数一致。

最终答案：$\int \sqrt{x^2+a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right| + C$