变限积分与推广

当积分的上下限本身也是关于 $x$ 的函数时，需要使用“变限积分求导公式”。它是积分上限函数的自然推广。

变限积分

定理2

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续， $u(x)$ 和 $v(x)$ 在 $[c, d]$ 上可导，则：

$\frac{d}{dx} \int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \, dt = f\bigl(v(x)\bigr) \cdot v'(x) - f\bigl(u(x)\bigr) \cdot u'(x)$

证明思路：把积分拆成两个积分上限函数，再结合链式法则即可。

解：上限是 $v(x)=x^2$ 。因此

$F'(x) = \sin(x^2) \cdot 2x = 2x \sin(x^2)$

已知函数 $f(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt$ ， $g(x) = \int_0^x e^{t^2} dt \cdot \sin^2 x$ ，判断 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点还是拐点。

解：

利用积分上限函数的导数性质
- $f'(x) = e^{x^2} \sin x$
- $f''(x) = 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x$
判断极值点
- $f'(0) = 0$
- $f''(0) = 1 > 0$
结论： $x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点。该题展示了积分上限函数在考研真题中的典型考法：先对积分求导，再结合高阶导数判断极值。熟悉这一流程后，遇到类似问题即可迅速定位求导路线与判别结论。

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\frac{d}{dx}$	数学符号	derivative with respect to x	对 $x$ 求导的运算符
$\int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \, dt$	数学符号	integral from u of x to v of x	上下限为函数的定积分
$u(x), v(x)$	数学符号	u/v of x	积分的上下限函数
$u'(x), v'(x)$	数学符号	u/v prime of x	上下限函数的导数
$f(t)$	数学符号	f of t	被积函数
$f'(x), f''(x)$	数学符号	f prime / double prime of x	一阶、二阶导数
$e^{t^2}$	数学符号	e to the t squared	指数函数，被积函数
$\sin x, \cos x$	数学符号	sine/cosine of x	正弦函数、余弦函数
$x^2$	数学符号	x squared	$x$ 的平方

中文术语	英文术语	音标	说明
变限积分	integral with variable limits	/ˈɪntɪɡrəl wɪð ˈveəriəbl ˈlɪmɪts/	上下限为函数的积分
链式法则	chain rule	/tʃeɪn ruːl/	复合函数求导法则
莱布尼茨公式	Leibniz formula	/ˈlaɪbnɪts ˈfɔːmjələ/	变限积分求导公式
极值点	extremum point	/ɪkˈstriːməm pɔɪnt/	函数取极大或极小值的点
拐点	inflection point	/ɪnˈflekʃən pɔɪnt/	曲线凹凸性改变的点
高阶导数	higher-order derivative	/ˈhaɪə ˈɔːdə dɪˈrɪvətɪv/	二阶及以上的导数
极小值	local minimum	/ˈləʊkəl ˈmɪnɪməm/	局部范围内的最小值