积分的其他性质

在前面的章节中，我们已经学习了积分的线性性质以及积分与微分之间的互逆关系。本节将继续介绍定积分的另外三条重要性质：区间可加性、保号性和积分中值定理。这些性质不仅是理论分析中的基本工具——例如用于估计积分值、证明不等式——而且在实际计算中也经常帮助我们简化问题或将积分区间进行灵活拆分。

下面将逐一介绍这三条性质，解释其含义，并通过具体的例题展示其应用方法。

1. 积分区间可加性

性质解读

区间可加性告诉我们：对一个大区间上的积分，可以从中间任意拆分成两个小区间上的积分之和。这里的 $b$ 可以是 $(a, c)$ 中的任意一点，选取哪个 $b$ 完全取决于计算的方便程度。

为什么成立？ 设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，由牛顿-莱布尼茨公式：

$\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = [F(b) - F(a)] + [F(c) - F(b)] = F(c) - F(a) = \int_a^c f(x)\,dx$

中间的 $F(b)$ 恰好抵消，这正是区间可加性的本质。

应用例子

例子：已知 $\int_0^3 f(x)\,dx = 7$，$\int_0^5 f(x)\,dx = 12$，求 $\int_3^5 f(x)\,dx$。

解：利用区间可加性，取 $a = 0,\; b = 3,\; c = 5$：

$\int_0^5 f(x)\,dx = \int_0^3 f(x)\,dx + \int_3^5 f(x)\,dx$

代入已知值：

$12 = 7 + \int_3^5 f(x)\,dx$

因此：

$\int_3^5 f(x)\,dx = 12 - 7 = 5$

---

2. 积分保号性

性质解读

保号性的含义非常直观：如果被积函数始终非负，那么积分值也非负。这是因为定积分可以看作”有向面积”——当曲线 $y = f(x)$ 始终位于 $x$ 轴上方（或恰好贴合 $x$ 轴）时，围成的面积自然不会为负。

另一个有用的推论（估值定理）：如果 $m \leq f(x) \leq M$ 在 $[a, b]$ 上成立，则

$m(b - a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b - a)$

这相当于用常数函数的积分来给 $\int_a^b f(x)\,dx$ 设置上下界。

应用例子

例子 1：不计算积分值，证明 $\int_0^1 \sqrt{x}\,dx > 0$。

证明：在 $[0, 1]$ 上，$f(x) = \sqrt{x} \geq 0$，且 $f(x)$ 不恒等于零（例如 $f(1) = 1 > 0$）。由保号性可知 $\int_0^1 \sqrt{x}\,dx > 0$。

例子 2：估计 $\int_0^{\pi} \sin^2 x\,dx$ 的范围。

解：在 $[0, \pi]$ 上，$0 \leq \sin^2 x \leq 1$，即 $m = 0$，$M = 1$，区间长度为 $\pi - 0 = \pi$。由估值定理：

$0 \cdot \pi \leq \int_0^{\pi} \sin^2 x\,dx \leq 1 \cdot \pi$

即 $0 \leq \int_0^{\pi} \sin^2 x\,dx \leq \pi$。

---

3. 积分中值定理

性质解读

积分中值定理是一个非常深刻的结论。它可以改写为：

$f(\xi) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$

右边的 $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ 正是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的平均值。因此，积分中值定理说的是：连续函数在某个区间上一定存在某一点 $\xi$，使得函数在该点的值恰好等于函数在整个区间上的平均值。

为什么成立？ 由闭区间上连续函数的性质，$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上取到最小值 $m$ 和最大值 $M$。由估值定理：

$m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b-a)$

即 $m \leq \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \leq M$。再由介值定理，$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可以取到 $m$ 与 $M$ 之间的任何值，因此必然存在 $\xi \in [a, b]$ 使得 $f(\xi) = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$。

应用例子

例子 1：证明存在 $\xi \in [0, 2]$，使得 $\int_0^2 (x^2 + 1)\,dx = f(\xi) \cdot 2$，并求出 $f(\xi)$ 的值。

解：$f(x) = x^2 + 1$ 在 $[0, 2]$ 上连续，满足中值定理条件。先计算积分值：

$\int_0^2 (x^2 + 1)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_0^2 = \frac{8}{3} + 2 = \frac{14}{3}$

由中值定理，存在 $\xi \in [0, 2]$ 使得：

$f(\xi) \cdot 2 = \frac{14}{3} \implies f(\xi) = \frac{7}{3}$

即 $\xi^2 + 1 = \dfrac{7}{3}$，解得 $\xi = \sqrt{\dfrac{4}{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.155 \in [0, 2]$，验证了定理的结论。

例子 2：设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，且 $\int_0^1 f(x)\,dx = 0$。证明存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得 $f(\xi) = 0$。

证明：由积分中值定理，存在 $\xi \in [0, 1]$ 使得：

$f(\xi) = \frac{1}{1 - 0}\int_0^1 f(x)\,dx = \frac{0}{1} = 0$

若 $\xi \in (0, 1)$，结论已成立。若 $\xi = 0$ 或 $\xi = 1$，则 $f$ 在端点取值为零。如果 $f$ 在 $(0, 1)$ 内恒不为零，由连续性 $f$ 在 $[0, 1]$ 上恒正或恒负，积分不可能为零，矛盾。因此必存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得 $f(\xi) = 0$。

---

小结

本节介绍了定积分的三条重要性质：

在后续的学习中，我们会频繁用到这些性质。例如，在换元积分法中，区间可加性帮助我们正确处理积分区间的变化；在利用积分估计近似值时，保号性和估值定理是不可或缺的工具；而积分中值定理则是后续学习泰勒公式、拉格朗日余项等高级分析工具的重要基石。

---

练习题

练习 1

已知 $\int_1^4 f(x)\,dx = 10$，$\int_1^2 f(x)\,dx = 3$，利用区间可加性求 $\int_2^4 f(x)\,dx$。

练习 2

设 $f(x)$ 在 $[1, 3]$ 上连续，且 $2 \leq f(x) \leq 5$。利用估值定理估计 $\int_1^3 f(x)\,dx$ 的范围。

练习 3

设 $f(x) = e^x$，利用积分中值定理，求存在 $\xi \in [0, 1]$ 使得 $\int_0^1 e^x\,dx = f(\xi) \cdot 1$，并求出 $\xi$ 的值。

---

总结

本文出现的符号

中英对照