利用积分中值定理

积分中值定理可以用于估计定积分的值。

积分中值定理的应用

积分中值定理：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $\xi \in [a, b]$ ，使得：

$\int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b - a)$

应用例子

例子：估计 $\int_0^1 e^{-x^2} dx$ 的值

解：

由于 $e^{-x^2}$ 在 $[0,1]$ 上连续且单调递减
根据积分中值定理，存在 $\xi \in [0,1]$ ，使得 $\int_0^1 e^{-x^2} dx = e^{-\xi^2}$
由于 $e^{-1} \leq e^{-\xi^2} \leq e^0$ ，所以 $0.368 \leq \int_0^1 e^{-x^2} dx \leq 1$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\int_a^b$	数学符号	integral from a to b	区间 $[a, b]$ 上的定积分
$\xi$	希腊字母	Xi（克西）	积分中值定理中的存在点
$f(x)$	数学符号	f of x	被积函数
$[a, b]$	数学符号	closed interval	闭区间
$b - a$	数学符号	b minus a	区间的长度
$e^{-x^2}$	数学符号	e to the minus x squared	指数函数，被积函数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
积分中值定理	mean value theorem for integrals	/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm fɔːr ˈɪntɪɡrəlz/	积分等于某点函数值乘以区间长度
估计	estimate	/ˈestɪmeɪt/	近似判断积分的取值范围
单调递减	monotonically decreasing	/ˌmɒnəˈtɒnɪkli dɪˈkriːsɪŋ/	函数值随自变量增大而减小
连续性	continuity	/ˌkɒntɪˈnjuːəti/	函数不间断的性质
上下界	upper and lower bound	/ˈʌpə ənd ˈləʊə baʊnd/	积分值的最大、最小可能范围

利用分部积分法

定积分的分部积分法：带上下限的 uv 公式应用与典型例题。