利用积分中值定理

解题思路：$\cos x$ 在 $[0, 2]$ 上连续，由积分中值定理存在 $\xi \in [0, 2]$ 使 $\int_0^2 \cos x dx = \cos \xi \cdot (2 - 0)$。先用原函数把积分本身算成初等函数，再除以区间长度，就定出了中值点处函数值 $\cos \xi$ 的数值。

详细步骤：

1. 由积分中值定理：$\int_0^2 \cos x dx = \cos \xi \cdot (2 - 0) = 2\cos \xi$，其中 $\xi \in [0, 2]$。
2. 直接计算积分：$\int_0^2 \cos x dx = [\sin x]_0^2 = \sin 2 \approx 0.909$。
3. 由 $2\cos \xi = \sin 2$ 得 $\cos \xi = \frac{\sin 2}{2} \approx 0.4546$。
4. 核对合理性：由于 $0 \leq x \leq 2 < \pi$ 时 $\sin x \geq 0$，故 $(\cos x)' = -\sin x \leq 0$，即 $\cos x$ 在 $[0, 2]$ 上单调递减，所以 $\cos 2 \leq \cos \xi \leq \cos 0 = 1$，与上一步算出的 $0.4546$ 相符。

最终答案：存在 $\xi \in [0, 2]$ 使 $\cos \xi = \frac{\sin 2}{2} \approx 0.4546$，且 $\int_0^2 \cos x dx = \sin 2 \approx 0.909$