区间可加性

区间可加性是定积分的重要性质，它允许我们将积分区间分割成若干子区间。

基本定理

定理2

设 $f(x)$ 在 $[a, c]$ 上可积， $b \in (a, c)$ ，则：

$\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx$

几何解释

曲边梯形的面积等于两个子区间上曲边梯形面积的和。

例子：计算 $\int_0^2 x^2 dx$

解：

$\int_0^2 x^2 dx = \int_0^1 x^2 dx + \int_1^2 x^2 dx$
$= \frac{1}{3} + [\frac{x^3}{3}]_1^2 = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$

利用区间可加性计算 $\int_0^3 x dx$ 。

参考答案

解题思路：将区间 $[0, 3]$ 分割为 $[0, 1]$ 和 $[1, 3]$ 两个子区间。

详细步骤：

$\int_0^3 x dx = \int_0^1 x dx + \int_1^3 x dx$
$= \frac{1}{2} + [\frac{x^2}{2}]_1^3 = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

答案： $\frac{9}{2}$

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\int_a^c$	数学符号	integral from a to c	大区间 $[a, c]$ 上的定积分
$\int_a^b, \int_b^c$	数学符号	integrals over subintervals	两个子区间上的定积分
$f(x)$	数学符号	f of x	被积函数
$a, b, c$	数学符号	a, b, c	区间的端点与分割点
$dx$	数学符号	differential of x	积分变量 $x$ 的微分元素

中文术语	英文术语	音标	说明
区间可加性	additivity over intervals	/ˌædɪˈtɪvəti ˈəʊvə ˈɪntəvəlz/	大区间积分可拆分为小区间积分之和
子区间	subinterval	/ˌsʌbˈɪntəvəl/	分割后的小区间
曲边梯形	curved trapezoid	/kɜːvd ˈtræpɪzɔɪd/	曲线与坐标轴围成的梯形区域
可积	integrable	/ˈɪntɪɡrəbl/	函数积分存在的性质
分割	partition	/pɑːˈtɪʃən/	把区间划分为若干子区间