综合练习题

1. (1) 数量积：$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1\times2 + 2\times(-1) + 3\times1 = 2 - 2 + 3 = 3$
2. (2) 向量积：$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (2\times1-3\times(-1), 3\times2-1\times1, 1\times(-1)-2\times2) = (5, 5, -5)$
3. (3) $|\vec{a}| = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$，$|\vec{b}| = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$ $\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{3}{\sqrt{14}\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{84}} = \frac{3}{2\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{21}}{14}$
4. (4) 面积 $S = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{25+25+25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$

答案：(1) $3$；(2) $(5, 5, -5)$；(3) $\frac{\sqrt{21}}{14}$；(4) $5\sqrt{3}$。

1. 混合积 $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
2. $= 1(0\times1-1\times1) - 1(1\times1-1\times0) + 0(1\times1-0\times0) = 1(-1) - 1(1) + 0 = -2$
3. 因为混合积 $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = -2 \neq 0$，所以三个向量不共面。

答案：混合积为 $-2$，三个向量不共面。

1. 已知平面的法向量为 $\vec{n} = (2, -1, 3)$
2. 所求平面与已知平面平行，故法向量相同
3. 由点法式：$2(x-1) - 1(y-2) + 3(z-3) = 0$
4. 展开：$2x - 2 - y + 2 + 3z - 9 = 0$，即 $2x - y + 3z - 9 = 0$

答案：平面方程为 $2x - y + 3z = 9$。

1. 已知直线的方向向量为 $\vec{s} = (1, 2, -1)$
2. 所求直线过点 $P(1, 0, -1)$，方向向量相同，对称式方程为： $\frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$
3. 参数方程：$x = 1+t$，$y = 2t$，$z = -1-t$
4. 代入平面方程：$(1+t) + 2t + (-1-t) = 1$，即 $2t = 1$，$t = \frac{1}{2}$
5. 交点坐标：$x = 1+\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$，$y = 1$，$z = -1-\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$

答案：直线方程为 $\frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$；与平面交点为 $(\frac{3}{2}, 1, -\frac{3}{2})$。

1. 点到平面距离公式：$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
2. $d = \frac{|2\times1 - 1\times2 + 2\times3 + 4|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{|2-2+6+4|}{3} = \frac{10}{3}$

答案：距离为 $\frac{10}{3}$。

1. 直线方向向量 $\vec{s} = (2, 1, -1)$，平面法向量 $\vec{n} = (1, 1, 1)$
2. $\vec{s} \cdot \vec{n} = 2+1-1 = 2 \neq 0$，故直线与平面相交（不平行）
3. 参数方程：$x = 1+2t$，$y = 2+t$，$z = 3-t$
4. 代入平面：$(1+2t)+(2+t)+(3-t) = 6$，即 $6+2t = 6$，$t = 0$
5. 交点：$(1, 2, 3)$
6. 线面角 $\theta$：$\sin\theta = \frac{|\vec{s}\cdot\vec{n}|}{|\vec{s}||\vec{n}|} = \frac{2}{\sqrt{6}\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$
7. $\theta = \arcsin\frac{\sqrt{2}}{3}$

答案：直线与平面相交，交点为 $(1, 2, 3)$，线面角为 $\arcsin\frac{\sqrt{2}}{3}$。

1. 两平面法向量分别为 $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$，$\vec{n_2} = (1, -1, 2)$
2. 平面夹角 $\theta$（取锐角或直角）： $\cos\theta = \frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|} = \frac{|1-1+2|}{\sqrt{3}\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$
3. $\theta = \arccos\frac{\sqrt{2}}{3}$

答案：两平面夹角为 $\arccos\frac{\sqrt{2}}{3}$。

1. 方程形式为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$，是单叶双曲面。
2. 与平面 $z = 4$ 的截痕：代入 $z=4$，得 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} - \frac{16}{16} = 1$，即 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 2$，即 $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{18} = 1$
3. 这是平面 $z=4$ 上的一个椭圆，长半轴 $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$（沿y轴），短半轴 $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$（沿x轴）。

答案：单叶双曲面；与 $z=4$ 的截痕是椭圆 $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{18} = 1$。

1. 设锥面上任一点 $P(x, y, z)$，母线 $OP$ 与准线 $z=1$ 交于点 $Q(x_0, y_0, 1)$
2. 因为 $O, P, Q$ 共线，所以 $\frac{x}{x_0} = \frac{y}{y_0} = \frac{z}{1}$，即 $x_0 = \frac{x}{z}$，$y_0 = \frac{y}{z}$
3. $Q$ 在准线上，故 $x_0^2 + y_0^2 = 1$，代入得 $\frac{x^2}{z^2} + \frac{y^2}{z^2} = 1$
4. 即 $x^2 + y^2 = z^2$

答案：锥面方程为 $x^2 + y^2 = z^2$（圆锥面）。

1. 验证线性无关：行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(0-1) - 1(1-0) + 0 = -2 \neq 0$，故线性无关，构成 $\mathbb{R}^3$ 的一组基。
2. 设 $\beta = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3$，即： $\begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 + x_3 = 3 \\ x_2 + x_3 = 4 \end{cases}$
3. 三式相加：$2(x_1+x_2+x_3) = 9$，$x_1+x_2+x_3 = \frac{9}{2}$
4. $x_3 = \frac{9}{2} - 2 = \frac{5}{2}$，$x_2 = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}$，$x_1 = \frac{9}{2} - 4 = \frac{1}{2}$
5. 坐标为 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2})$

答案：该向量组构成 $\mathbb{R}^3$ 的基；$\beta$ 在该基下的坐标为 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2})$。