球面

球面的定义

球面

球面是以空间中一点为球心，以定长为半径的点的集合。

球面的几何意义

球面是距离球心为定长的点的轨迹，代表三维空间中最基本的对称曲面。

球面的标准方程

以点 $(a, b, c)$ 为球心，半径为 $r$ 的球面方程为：

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$

特殊情况

原点为球心： $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$
球心在坐标轴上：例如 $(a, 0, 0)$ 为球心： $(x - a)^2 + y^2 + z^2 = r^2$

球面的一般方程

$x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0$

其中 $A^2 + B^2 + C^2 - 4D > 0$ 。

方程化简

通过配方可以将一般方程化为标准方程：

$x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0$

$(x + \frac{A}{2})^2 + (y + \frac{B}{2})^2 + (z + \frac{C}{2})^2 = \frac{A^2 + B^2 + C^2 - 4D}{4}$

球面的性质

对称性

球面关于球心具有完全对称性，是三维空间中对称性最高的曲面。

截线性质

球面的截线

球面与平面的交线为圆。

平面过球心：截线为大圆
平面不过球心：截线为小圆

切平面

球面的切平面

过球面上一点的切平面垂直于该点的半径。

球心与切点连线垂直于切平面。

体积公式

球体的体积为 $V = \frac{4}{3}\pi r^3$

球面的表面积为 $S = 4\pi r^2$

球面方程的应用

距离问题

球面方程可以表示距离某个定点为定长的点的集合。

几何作图

在三维空间中构造等距离点的几何体。

练习题

练习 1

求以点 $(1, 2, 3)$ 为球心，半径为 $4$ 的球面方程。

参考答案 (3 个标签)

球面方程标准方程球心半径

解题思路：使用球面的标准方程公式。

详细步骤：

球心坐标： $(1, 2, 3)$
半径： $r = 4$
标准方程： $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 16$

答案： $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 16$

练习 2

求球面 $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z + 5 = 0$ 的球心和半径。

参考答案 (3 个标签)

球面方程一般方程配方化简

解题思路：通过配方将一般方程化为标准方程。

详细步骤：

配方： $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 9$
球心： $(1, 2, 3)$
半径： $\sqrt{9} = 3$

答案：球心为 $(1, 2, 3)$ ，半径为 $3$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$(a, b, c)$	球心坐标	center coordinates	球心的坐标
$r$	半径	radius	球的半径
$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$	球面方程	sphere equation	球面的标准方程

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
球面	sphere	/sfɪr/	以球心为中心的曲面
球心	center of sphere	/ˈsɛntər əv sfɪr/	球的中心点
半径	radius	/ˈreɪdiəs/	从球心到球面的距离
切平面	tangent plane	/ˈtændʒənt pleɪn/	与球面相切的平面
大圆	great circle	/ɡreɪt ˈsɜːrkl/	过球心的圆
小圆	small circle	/smɔːl ˈsɜːrkl/	不过球心的圆

上一章节二次曲面概述学习二次曲面的一般方程和分类方法。下一章节椭球面学习椭球面的标准方程、性质和几何特征。

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