椭球面

椭球面的定义

椭球面的标准方程

轴的含义

• $a$：椭球面在 $x$ 轴方向的半轴长
• $b$：椭球面在 $y$ 轴方向的半轴长
• $c$：椭球面在 $z$ 轴方向的半轴长

椭球面的性质

对称性

椭球面关于三个坐标平面对称：

• 关于 $yz$ 平面对称（$x = 0$ 平面）
• 关于 $xz$ 平面对称（$y = 0$ 平面）
• 关于 $xy$ 平面对称（$z = 0$ 平面）

顶点

椭球面在坐标轴上的顶点为：

• $(a, 0, 0)$ 和 $(-a, 0, 0)$
• $(0, b, 0)$ 和 $(0, -b, 0)$
• $(0, 0, c)$ 和 $(0, 0, -c)$

截线性质

椭球面的体积

表面积

椭球面的表面积没有简单的解析表达式，需要通过数值方法计算。

特殊情况

球面

当 $a = b = c = r$ 时，椭球面变为球面：

$\frac{x^2}{r^2} + \frac{y^2}{r^2} + \frac{z^2}{r^2} = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 = r^2$

旋转椭球面

当两个半轴相等时，形成旋转椭球面：

• $a = b \neq c$：绕 $z$ 轴旋转形成的椭球面
• $a = c \neq b$：绕 $y$ 轴旋转形成的椭球面
• $b = c \neq a$：绕 $x$ 轴旋转形成的椭球面

练习题

练习 1

判断曲面 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} + \frac{z^2}{16} = 1$ 的类型并求其半轴长。

练习 2

求椭球面 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} + \frac{z^2}{16} = 1$ 的体积。

总结

本文出现的符号

中英对照