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向量代数和空间解析几何

向量的混合积

混合积的定义

混合积

设 a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}为三个向量，则混合积定义为：

[a⃗,b⃗,c⃗]=(a⃗×b⃗)⋅c⃗[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}

混合积的结果是一个标量。

计算方法

混合积可以通过行列式计算：

混合积的行列式表示
[a⃗,b⃗,c⃗]=∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}

几何意义

混合积的几何意义

混合积的绝对值表示以 a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}为邻边的平行六面体的体积：

V=∣[a⃗,b⃗,c⃗]∣V = |[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]|

体积的正负

  • 当 [a⃗,b⃗,c⃗]>0[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] > 0 时，三向量构成右手系
  • 当 [a⃗,b⃗,c⃗]<0[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] < 0 时，三向量构成左手系
  • 当 [a⃗,b⃗,c⃗]=0[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0 时，三向量共面

性质

混合积的基本性质

轮换不变性：[a⃗,b⃗,c⃗]=[b⃗,c⃗,a⃗]=[c⃗,a⃗,b⃗][\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}] = [\vec{c}, \vec{a}, \vec{b}]

反交换性：[a⃗,b⃗,c⃗]=−[b⃗,a⃗,c⃗][\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = -[\vec{b}, \vec{a}, \vec{c}]

线性性：[ka⃗+la⃗′,b⃗,c⃗]=k[a⃗,b⃗,c⃗]+l[a⃗′,b⃗,c⃗][k\vec{a} + l\vec{a}', \vec{b}, \vec{c}] = k[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] + l[\vec{a}', \vec{b}, \vec{c}]

应用

判断共面

三向量共面的条件
a⃗,b⃗,c⃗共面⇔[a⃗,b⃗,c⃗]=0\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \text{共面} \Leftrightarrow [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0

计算体积

四面体体积

以 a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}为邻边的四面体体积为：

V=16∣[a⃗,b⃗,c⃗]∣V = \frac{1}{6} |[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]|

行列式计算

混合积等于以三向量为行（或列）的三阶行列式的值。

练习题

练习 1

计算混合积 [a⃗,b⃗,c⃗][\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]，其中 a⃗=(1,0,0)\vec{a} = (1, 0, 0)，b⃗=(0,1,0)\vec{b} = (0, 1, 0)，c⃗=(0,0,1)\vec{c} = (0, 0, 1)。

参考答案 (3 个标签)
混合积 行列式计算 标准基向量

解题思路： 使用行列式计算混合积。

详细步骤：

  1. [a⃗,b⃗,c⃗]=∣100010001∣=1[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1

  2. 或者计算：a⃗×b⃗=(0,0,1)\vec{a} \times \vec{b} = (0, 0, 1) (a⃗×b⃗)⋅c⃗=(0,0,1)⋅(0,0,1)=1(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (0, 0, 1) \cdot (0, 0, 1) = 1

答案：[a⃗,b⃗,c⃗]=1[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 1

练习 2

判断向量 a⃗=(1,1,0)\vec{a} = (1, 1, 0)，b⃗=(1,0,1)\vec{b} = (1, 0, 1)，c⃗=(0,1,1)\vec{c} = (0, 1, 1) 是否共面。

参考答案 (3 个标签)
混合积 共面判断 行列式

解题思路： 计算混合积，如果为零则共面。

详细步骤：

  1. [a⃗,b⃗,c⃗]=∣110101011∣[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}

  2. 计算行列式： 第一行展开：1×∣0111∣−1×∣1101∣+0×∣1001∣1 \times \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 0 \times \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} =1(0−1)−1(1−0)+0=−1−1=−2≠0= 1(0-1) - 1(1-0) + 0 = -1 - 1 = -2 \neq 0

答案：混合积不为零，三向量不共面。

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
[a⃗,b⃗,c⃗][\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]混合积scalar triple product三向量的混合积
VV体积volume平行六面体的体积

中英对照

中文术语英文术语音标说明
混合积scalar triple product/ˈskeɪlər ˈtrɪpl ˈprɒdʌkt/三个向量的标量积
共面coplanar/koʊˈpleɪnər/在同一平面内的关系
平行六面体parallelepiped/ˌpærəlɛlɪˈpɪpɪd/由三组平行四边形围成的立体
四面体tetrahedron/ˌtɛtrəˈhiːdrən/四面体
右手系right-handed system/raɪt ˈhændɪd ˈsɪstəm/符合右手定则的坐标系
上一章节向量的向量积（叉积）学习向量的向量积定义、性质和几何意义。 下一章节向量积公式学习向量积相关的恒等式和公式。

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