向量的混合积

混合积的定义

混合积

设 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 为三个向量，则混合积定义为：

[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}

混合积的结果是一个标量。

计算方法

混合积可以通过行列式计算：

混合积的行列式表示

[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}

几何意义

混合积的几何意义

混合积的绝对值表示以 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 为邻边的平行六面体的体积：

V = |[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]|

体积的正负

当 $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] > 0$ 时，三向量构成右手系
当 $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] < 0$ 时，三向量构成左手系
当 $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0$ 时，三向量共面

性质

混合积的基本性质

轮换不变性： $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}] = [\vec{c}, \vec{a}, \vec{b}]$

反交换性： $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = -[\vec{b}, \vec{a}, \vec{c}]$

线性性： $[k\vec{a} + l\vec{a}', \vec{b}, \vec{c}] = k[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] + l[\vec{a}', \vec{b}, \vec{c}]$

应用

判断共面

三向量共面的条件

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \text{共面} \Leftrightarrow [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0

计算体积

四面体体积

以 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 为邻边的四面体体积为：

V = \frac{1}{6} |[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]|

行列式计算

混合积等于以三向量为行（或列）的三阶行列式的值。

练习题

练习 1

计算混合积 $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ ，其中 $\vec{a} = (1, 0, 0)$ ， $\vec{b} = (0, 1, 0)$ ， $\vec{c} = (0, 0, 1)$ 。

参考答案(3 个标签)

混合积行列式计算标准基向量

解题思路：使用行列式计算混合积。

详细步骤：

$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$
或者计算： $\vec{a} \times \vec{b} = (0, 0, 1)$ $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (0, 0, 1) \cdot (0, 0, 1) = 1$

答案： $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 1$

练习 2

判断向量 $\vec{a} = (1, 1, 0)$ ， $\vec{b} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{c} = (0, 1, 1)$ 是否共面。

参考答案(3 个标签)

混合积共面判断行列式

解题思路：计算混合积，如果为零则共面。

详细步骤：

$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
计算行列式：第一行展开： $1 \times \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 0 \times \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$ $= 1(0-1) - 1(1-0) + 0 = -1 - 1 = -2 \neq 0$

答案：混合积不为零，三向量不共面。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$	混合积	scalar triple product	三向量的混合积
$V$	体积	volume	平行六面体的体积

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
混合积	scalar triple product	/ˈskeɪlər ˈtrɪpl ˈprɒdʌkt/	三个向量的标量积
共面	coplanar	/koʊˈpleɪnər/	在同一平面内的关系
平行六面体	parallelepiped	/ˌpærəlɛlɪˈpɪpɪd/	由三组平行四边形围成的立体
四面体	tetrahedron	/ˌtɛtrəˈhiːdrən/	四面体
右手系	right-handed system	/raɪt ˈhændɪd ˈsɪstəm/	符合右手定则的坐标系