线性组合

线性组合的定义

零线性组合

当所有系数都为零时，得到零向量：

线性相关与线性无关

线性相关的定义

线性无关的定义

线性相关性的等价条件

证明：

• 充分性：如果 $\vec{a}_1 = k_2\vec{a}_2 + \dots + k_m\vec{a}_m$，则： $(-1)\vec{a}_1 + k_2\vec{a}_2 + \dots + k_m\vec{a}_m = \vec{0}$其中系数不全为零，所以线性相关。

• 必要性：如果线性相关，则存在不全为零的 $k_1, k_2, \dots, k_m$ 使得： $k_1\vec{a}_1 + k_2\vec{a}_2 + \dots + k_m\vec{a}_m = \vec{0}$假设 $k_1 \neq 0$，则： $\vec{a}_1 = -\frac{k_2}{k_1}\vec{a}_2 - \dots - \frac{k_m}{k_1}\vec{a}_m$

线性相关性的判断方法

方法一：行列式法

例子： 判断向量组 $\{(1,2), (3,4)\}$ 的线性相关性。

解： $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 4 - 6 = -2 \neq 0$

所以向量组线性无关。

方法二：矩阵秩法

步骤：

1. 将向量作为矩阵的行（或列）
2. 计算矩阵的秩
3. 比较秩与向量个数

例子： 判断向量组 $\{(1,2,3), (2,4,6), (1,0,1)\}$ 的线性相关性。

解： 构造矩阵： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

通过初等变换化为行阶梯形： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}$

秩为 2，小于向量个数 3，所以线性相关。

向量组的极大线性无关组

极大线性无关组的定义

极大线性无关组的性质

极大线性无关组的求法

步骤：

1. 将向量组按列排成矩阵
2. 用初等行变换将矩阵化为行阶梯形
3. 取行阶梯形中非零行对应的原向量

例子： 求向量组 $\{(1,2,3), (2,4,6), (1,0,1)\}$ 的极大线性无关组。

解： 构造矩阵： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

化为行阶梯形： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}$

取第 1 行和第 3 行对应的原向量：$\{(1,2,3), (1,0,1)\}$

向量组的秩

向量组秩的定义

向量组秩的性质

1. 秩的不等式：$r(\{\vec{a}_1, \vec{a}_2, \dots, \vec{a}_m\}) \leq \min(m, n)$
2. 秩的传递性：如果向量组 A 可以由向量组 B 线性表示，则 $r(A) \leq r(B)$
3. 秩的加法：$r(A \cup B) \leq r(A) + r(B)$

向量组秩的计算

方法：

1. 将向量组按列排成矩阵
2. 计算矩阵的秩
3. 矩阵的秩就是向量组的秩

应用示例

物理中的应用

在物理学中，许多物理量都可以表示为其他物理量的线性组合：

• 合力：多个力的向量和
• 合位移：多个位移的向量和
• 合速度：多个速度的向量和

计算机图形学应用

在3D图形学中，任何向量都可以表示为基向量的线性组合：

$\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$

练习题

练习 1

判断向量 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ 和 $\vec{b} = (2, 4, 6)$ 是否线性相关。

练习 2

将向量 $\vec{c} = (1, 2, 3)$ 表示为向量 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ 和 $\vec{b} = (0, 1, 1)$ 的线性组合。

练习 3

判断向量组 $\{(1,2,3), (2,4,6), (1,0,1)\}$ 的线性相关性。

练习 4

判断向量组 $\{(1,2), (3,4)\}$ 的线性相关性。

练习 5

求向量组 $\{(1,2,3), (2,4,6), (1,0,1)\}$ 的极大线性无关组。

练习 6

求向量组 $\{(1,2,3), (2,4,6), (3,6,9)\}$ 的秩。

总结

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中英对照