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子空间

子空间的定义

子空间

设 VV 是向量空间，WW 是 VV 的非空子集，如果 WW 对 VV 的加法和数乘运算也构成向量空间，则称 WW 是 VV 的子空间。

等价定义

WW 是 VV 的子空间，当且仅当 WW 满足：

  1. 封闭性（加法）：对任意 a⃗,b⃗∈W\vec{a}, \vec{b} \in W，有 a⃗+b⃗∈W\vec{a} + \vec{b} \in W
  2. 封闭性（数乘）：对任意 a⃗∈W\vec{a} \in W，k∈Rk \in \mathbb{R}，有 ka⃗∈Wk\vec{a} \in W

子空间的例子

平凡子空间

  1. 零子空间：{0⃗}\{ \vec{0} \}，只包含零向量
  2. 全空间：VV 本身

几何子空间

在 R3\mathbb{R}^3 中：

  • 直线：通过原点的直线
  • 平面：通过原点的平面
  • 原点：零子空间

代数子空间

矩阵空间的子空间

在 Mn×nM_{n \times n} 中，对称矩阵集合：

S={A∈Mn×n∣AT=A}S = \{ A \in M_{n \times n} \mid A^T = A \}

生成子空间

生成子空间

设 SS 是向量空间 VV 的一个子集，所有包含 SS 的线性组合的集合称为 SS 生成的子空间，记作 ⟨S⟩\langle S \rangle 或 span(S)\mathrm{span}(S)。

生成子空间的性质

生成子空间的表示

⟨S⟩={∑i=1kcia⃗i∣ci∈R,a⃗i∈S}\langle S \rangle = \left\{ \sum_{i=1}^k c_i \vec{a}_i \mid c_i \in \mathbb{R}, \vec{a}_i \in S \right\}

子空间的维数

定理 1

如果 WW 是 VV 的子空间，则：

  1. dim⁡W≤dim⁡V\dim W \leq \dim V
  2. 如果 dim⁡W=dim⁡V\dim W = \dim V，则 W=VW = V

子空间的和

子空间的和

设 W1,W2W_1, W_2 是 VV 的子空间，则：

W1+W2={w⃗1+w⃗2∣w⃗1∈W1,w⃗2∈W2}W_1 + W_2 = \{ \vec{w}_1 + \vec{w}_2 \mid \vec{w}_1 \in W_1, \vec{w}_2 \in W_2 \}

子空间和的维数

dim⁡(W1+W2)=dim⁡W1+dim⁡W2−dim⁡(W1∩W2)\dim(W_1 + W_2) = \dim W_1 + \dim W_2 - \dim(W_1 \cap W_2)

练习题

练习 1

证明集合 W={(x,y,z)∈R3∣x+y+z=0}W = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0 \} 是 R3\mathbb{R}^3 的子空间。

参考答案 (3 个标签)
子空间 验证封闭性 线性方程

解题思路： 验证加法和数乘的封闭性。

详细步骤：

  1. 加法封闭性：设 a⃗=(x1,y1,z1),b⃗=(x2,y2,z2)∈W\vec{a} = (x_1, y_1, z_1), \vec{b} = (x_2, y_2, z_2) \in W 则 x1+y1+z1=0x_1 + y_1 + z_1 = 0，x2+y2+z2=0x_2 + y_2 + z_2 = 0 a⃗+b⃗=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)\vec{a} + \vec{b} = (x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2) (x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2)=0+0=0(x_1+x_2) + (y_1+y_2) + (z_1+z_2) = 0 + 0 = 0 所以 a⃗+b⃗∈W\vec{a} + \vec{b} \in W

  2. 数乘封闭性：设 a⃗=(x,y,z)∈W\vec{a} = (x, y, z) \in W，k∈Rk \in \mathbb{R} 则 x+y+z=0x + y + z = 0 ka⃗=(kx,ky,kz)k\vec{a} = (kx, ky, kz) kx+ky+kz=k(x+y+z)=k⋅0=0kx + ky + kz = k(x + y + z) = k \cdot 0 = 0 所以 ka⃗∈Wk\vec{a} \in W

答案：WW 是 R3\mathbb{R}^3 的子空间

练习 2

求向量组 {(1,0,1),(0,1,1)}\{(1,0,1), (0,1,1)\} 生成的子空间。

参考答案 (3 个标签)
生成子空间 线性组合 参数表示

解题思路： 求所有线性组合的形式。

详细步骤：

  1. 设 v⃗=x(1,0,1)+y(0,1,1)=(x,y,x+y)\vec{v} = x(1,0,1) + y(0,1,1) = (x, y, x + y)

  2. 向量的一般形式：(x,y,x+y)(x, y, x + y)，其中 x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}

  3. 这可以写成：(x,y,z)(x, y, z)，其中 z=x+yz = x + y

  4. 即满足 z=x+yz = x + y 的所有向量

答案：生成子空间为 {(x,y,x+y)∣x,y∈R}\{(x, y, x+y) \mid x, y \in \mathbb{R}\}

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
WW子空间subspace W向量空间的子集
⟨S⟩\langle S \rangle生成子空间span of S由集合S生成的子空间
W1+W2W_1 + W_2子空间和sum of subspaces两个子空间的和

中英对照

中文术语英文术语音标说明
子空间subspace/ˈsʌbˌspeɪs/向量空间的子集且本身是向量空间
生成子空间span/spæn/由向量组生成的最小子空间
封闭性closure/ˈkloʊʒər/对运算封闭的性质
维数公式dimension formula/daɪˈmɛnʃən ˈfɔːrmjələ/子空间和的维数公式
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