向量的模与方向

向量的模

向量模长的定义

空间中向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 的模长（长度）定义为：

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}

其中 $a_1, a_2, a_3$ 是向量 $\vec{a}$ 在三个坐标轴上的分量。

单位向量的定义

与非零向量 $\vec{a}$ 同方向且模长为 1 的向量称为 $\vec{a}$ 的单位向量，用 $\vec{e}_a$ 表示：

\vec{e}_a = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}

其中 $|\vec{a}|$ 为向量 $\vec{a}$ 的模长。

方向余弦的定义

非零向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 与三个坐标轴正方向的夹角 $\alpha, \beta, \gamma$ 的余弦分别称为该向量的方向余弦：

\cos\alpha = \frac{a_1}{|\vec{a}|}, \quad \cos\beta = \frac{a_2}{|\vec{a}|}, \quad \cos\gamma = \frac{a_3}{|\vec{a}|}

方向余弦的平方和等于 1：

(\cos\alpha)^2 + (\cos\beta)^2 + (\cos\gamma)^2 = 1

其中 $\alpha, \beta, \gamma$ 分别为向量 $\vec{a}$ 与 $x, y, z$ 轴正方向的夹角。

符号说明

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\alpha$	希腊字母	Alpha（阿尔法）	向量与 x 轴正方向的夹角
$\beta$	希腊字母	Beta（贝塔）	向量与 y 轴正方向的夹角
$\gamma$	希腊字母	Gamma（伽马）	向量与 z 轴正方向的夹角

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\vec{a}$	向量	Vector a	表示一般的向量
$\vec{e}_a$	单位向量	Unit vector e_a	表示向量 a 的单位向量
$\\|\vec{a}\\|$	模	Magnitude of a	表示向量 a 的模长

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线性代数

掌握行列式、矩阵、向量、线性方程组等，理解线性空间的抽象结构。