向量空间的定义

向量空间

设 $V$ 是一个非空集合，如果在 $V$ 上定义了加法和数乘运算，且满足以下 8 条公理，则称 $V$ 为向量空间（或线性空间）。

加法公理：

结合律： $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
交换律： $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
零元素：存在 $\vec{0} \in V$ ，使得 $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$
负元素：对每个 $\vec{a} \in V$ ，存在 $-\vec{a} \in V$ ，使得 $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$

数乘公理： 5. 分配律： $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$ 6. 分配律： $(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$ 7. 结合律： $(kl)\vec{a} = k(l\vec{a})$ 8. 单位元： $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$

向量空间的几何解释

向量空间可以看作是”向量”的集合，在这个集合中可以进行加法和数乘运算，就像在平面上或空间中可以对向量进行运算一样。

常见的向量空间

实数域上的向量空间

n 维实向量空间

$\mathbb{R}^n = \{ (a_1, a_2, \dots, a_n) \mid a_i \in \mathbb{R} \}$

这是最常见的向量空间，包括：

$\mathbb{R}^1$ ：数轴
$\mathbb{R}^2$ ：平面
$\mathbb{R}^3$ ：三维空间

函数空间

多项式空间

$P_n = \{ a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n \mid a_i \in \mathbb{R} \}$

次数不超过 n 的多项式构成的集合。

矩阵空间

$M_{m \times n} = \{ A = (a_{ij})_{m \times n} \mid a_{ij} \in \mathbb{R} \}$

所有 m × n 实矩阵构成的集合。

向量空间的基本性质

定理 1

在向量空间 V 中，以下性质成立：

零向量唯一：零向量是唯一的
负向量唯一：每个向量的负向量是唯一的
零元素的数乘： $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$ ， $k \cdot \vec{0} = \vec{0}$
数乘的性质： $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$

练习题

练习 1

验证 $\mathbb{R}^2$ 是否构成向量空间。

参考答案 (3 个标签)

向量空间验证公理实向量空间

解题思路：验证 $\mathbb{R}^2$ 满足向量空间的8条公理。

详细步骤：

加法结合律： $(a,b) + ((c,d) + (e,f)) = ((a,b) + (c,d)) + (e,f)$ 左边： $(a+c+e, b+d+f)$ 右边： $(a+c+e, b+d+f)$ 成立
加法交换律： $(a,b) + (c,d) = (c,d) + (a,b)$ 两边都是 $(a+c, b+d)$ 成立
零向量： $(0,0) + (a,b) = (a,b)$ 成立
负向量： $(a,b) + (-a,-b) = (0,0)$ 成立
数乘分配律： $k((a,b) + (c,d)) = k(a+c, b+d) = (k(a+c), k(b+d))$ $k(a,b) + k(c,d) = (ka, kb) + (kc, kd) = (ka+kc, kb+kd)$ 成立
标量加法分配律： $(k+l)(a,b) = (k+l)a, (k+l)b$ $k(a,b) + l(a,b) = (ka, kb) + (la, lb) = (ka+la, kb+lb)$ 成立
数乘结合律： $(kl)(a,b) = (kl a, kl b)$ $k(l(a,b)) = k(la, lb) = (kla, klb)$ 成立
单位元： $1 \cdot (a,b) = (a,b)$ 成立

答案： $\mathbb{R}^2$ 构成向量空间

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$V$	集合	Vector space V	向量空间
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$	向量	vectors a, b, c	向量空间中的元素
$\vec{0}$	零向量	zero vector	向量空间的零元素
$k, l$	标量	scalars k, l	实数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
向量空间	vector space	/ˈvɛktər speɪs/	满足特定运算公理的集合
线性空间	linear space	/ˈlɪniər speɪs/	向量空间的别称
加法公理	addition axioms	/əˈdɪʃən ˈæksiəmz/	加法运算必须满足的规则
数乘公理	scalar multiplication axioms	/ˈskeɪlər ˌmʌltɪplɪˈkeɪʃən ˈæksiəmz/	数乘运算必须满足的规则

下一章节基与维数学习向量空间的基、维数定理和坐标表示

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