判别方法

标准形化简

坐标变换

通过正交变换，可以将一般二次曲面方程化为标准形：

通过坐标变换，可以消去交叉项，并将方程化为：

特征值判别法

判别规则

根据特征值的符号和个数：

1. 椭球面：三个特征值同号（$J = \lambda_1\lambda_2\lambda_3 > 0$）

   • 实椭球面：方程有实数解
   • 虚椭球面：方程无实数解

2. 双曲面：三个特征值两同一异（$J < 0$），常数项非零

   • 单叶双曲面 / 双叶双曲面：二者特征值同为两正一负或一正两负，需由常数项符号进一步区分

3. 锥面：三个特征值两同一异（$J < 0$），且常数项为零

   • 椭圆锥面（过原点）

4. 抛物面：恰一个特征值为零（$J = 0$）

   • 椭圆抛物面：另两个特征值同号
   • 双曲抛物面（马鞍面）：另两个特征值异号

5. 柱面：退化的曲面（至少一个特征值为零，且对应方向无一次项）

   • 椭圆柱面：一个特征值为零，另两个同号
   • 双曲柱面：一个特征值为零，另两个异号
   • 抛物柱面：两个特征值为零，一个非零，且含一次项

不变量判别法

二次型矩阵

对于方程：

$Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0$

二次型矩阵为：

$$\begin{pmatrix} A & D/2 & E/2 \\ D/2 & B & F/2 \\ E/2 & F/2 & C \end{pmatrix}$$

不变量

通过计算矩阵的迹、行列式等不变量来判别曲面类型。

直接观察法

方程形式分析

通过观察方程的形式直接判断：

• 球面：$x^2 + y^2 + z^2$ 系数相等
• 椭球面：三个变量的平方项系数都正
• 单叶双曲面：两个变量平方系数正，一个负
• 双叶双曲面：两个变量平方系数正，一个负，且常数项为-1
• 抛物面：含有一个变量的一次项
• 柱面：方程中缺少一个变量
• 锥面：常数项为零，且有一个变量系数为负

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练习题

练习 1

判断曲面 $2x^2 + 3y^2 + 4z^2 - 4xy + 2xz - 6yz + 8x - 10y + 12z + 20 = 0$ 的类型。

练习 2

解释为什么球面方程中 $x^2, y^2, z^2$ 的系数必须相等。

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总结

本文出现的符号

中英对照