空间直线

直线的参数方程

过点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ ，方向向量为 $\vec{s} = (l, m, n)$ 的直线参数方程为：

\begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \\ z = z_0 + nt \end{cases}

其中 $t$ 为参数。

参数的几何意义

参数 $t$ 表示从起点 $P_0$ 沿方向 $\vec{s}$ 移动的”步长”：

$t > 0$ ：沿正方向移动
$t < 0$ ：沿反方向移动
$t = 0$ ：在起点处

直线的对称式方程

$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$

其中 $(l, m, n)$ 为方向向量， $(x_0, y_0, z_0)$ 为直线上一点。

对称式的特点

形式简洁，对称美观
方向向量直接出现在分母中
适用于计算直线上的点坐标

直线的两点式方程

过两点 $P_1(x_1, y_1, z_1)$ ， $P_2(x_2, y_2, z_2)$ 的直线方程为：

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$

两点式的应用

当已知直线上的两个点时，直接使用两点式
方向向量为 $\vec{P_1P_2} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$

直线的一般式方程

\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}

表示两平面的交线。

一般式的特点

表示为两个平面的交线
适用于与平面相交的情况
不直接给出方向向量

方程间的转换

参数方程 → 对称式方程

从参数方程： $\begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \\ z = z_0 + nt \end{cases}$

转换为对称式： $\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$

对称式方程 → 参数方程

从对称式： $\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n} = t$

转换为参数方程： $\begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \\ z = z_0 + nt \end{cases}$

练习题

练习 1

求过点 $A(1, 2, 3)$ ，方向向量为 $(1, -1, 2)$ 的直线方程。

参考答案 (3 个标签)

直线方程参数方程对称式方程

解题思路：使用参数方程和对称式方程表示直线。

详细步骤：

参数方程： $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$
对称式方程： $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{2}$

答案：参数方程： $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$

对称式方程： $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{2}$

练习 2

求过两点 $A(1, 2, 3)$ 和 $B(2, 3, 4)$ 的直线方程。

参考答案 (3 个标签)

直线方程两点式方程方向向量

解题思路：先求方向向量，然后使用参数方程或对称式方程。

详细步骤：

方向向量： $\vec{AB} = (2-1, 3-2, 4-3) = (1, 1, 1)$
参数方程： $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 + t \end{cases}$
对称式方程： $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{1}$

答案：参数方程为 $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 + t \end{cases}$ ，对称式方程为 $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{1}$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\vec{s} = (l, m, n)$	方向向量	direction vector	直线的方向向量
$t$	参数	parameter	参数方程中的参数
$P_0(x_0, y_0, z_0)$	点坐标	point coordinates	直线上的一点

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
直线的参数方程	parametric equations of a line	/pərəˈmɛtrɪk ɪˈkweɪʒənz əv ə laɪn/	使用参数表示的直线方程
对称式方程	symmetric equations	/sɪˈmɛtrɪk ɪˈkweɪʒənz/	对称形式的直线方程
两点式方程	two-point form	/tuː pɔɪnt fɔːrm/	过两点的直线方程
一般式方程	general form	/ˈdʒɛnərəl fɔːrm/	两平面交线的方程形式

上一章节空间平面学习平面的各种方程形式和性质。下一章节位置关系学习点、线、面之间的位置关系判断方法。

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