向量共线

向量共线的直观理解

向量共线是指两个向量可以自由平移后落在同一条直线上，且方向要么完全相同，要么完全相反。

向量共线的充要条件

向量共线的判定方法

1. 数乘关系法：检查是否存在实数 $\lambda$ 使得 $\vec{a} = \lambda\vec{b}$
2. 线性组合法：检查是否存在不全为零的 $k, l$ 使得 $k\vec{a} + l\vec{b} = \vec{0}$
3. 坐标法：计算向量坐标的比例关系

实例与应用

正向实例：共线向量

例 1：判断向量 $\vec{a} = (3, 6)$ 和 $\vec{b} = (1, 2)$ 是否共线。

解：

1. 数乘关系：$\vec{a} = 3\vec{b}$，所以 $\vec{a} = 3\vec{b}$
2. 线性组合：$1 \cdot \vec{a} + (-3) \cdot \vec{b} = 3(1,2) + (-3)(1,2) = (3,6) + (-3,-6) = (0,0)$
3. 坐标比例：$x$ 分量比例 $3\div1=3$，$y$ 分量比例 $6\div2=3$，比例相同

反向实例：非共线向量

例 2：判断向量 $\vec{a} = (1, 2)$ 和 $\vec{b} = (2, 3)$ 是否共线。

解：

1. 坐标比例：$x$ 分量比例 $1\div2=0.5$，$y$ 分量比例 $2\div3\approx0.667$，比例不同
2. 线性组合：假设 $k(1,2) + l(2,3) = (0,0)$
   • 方程组：$k + 2l = 0$，$2k + 3l = 0$
   • 解得 $k = 0$，$l = 0$（只有零解）

特殊情况：零向量

例 3：判断零向量 $\vec{0}$与向量 $\vec{a} = (2, 5)$ 是否共线。

解：

• 线性组合：$1 \cdot \vec{0} + 0 \cdot \vec{a} = (0,0)$
• 系数 $(1, 0)$ 不全为零

应用场景

在空间几何中的应用

1. 空间直线方程：空间中两点确定的直线，可通过共线向量表示直线上任意一点的位置向量
2. 线性组合判定：向量共线是研究线性相关性的基础
3. 几何变换：共线向量在平移、缩放等几何变换中有重要应用

常见误区提醒

小练习

练习 1

判断向量 $\vec{a} = (4, -2)$ 与 $\vec{b} = (-2, 1)$ 是否共线。

总结

本文出现的符号

中英对照