数乘运算

数乘运算的定义

数乘运算

设 $k$ 为实数， $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ ，则：

k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)

数乘运算将向量 $\vec{a}$ 拉伸或压缩 $k$ 倍。

几何解释

当 $k > 1$ 时，向量伸长
当 $0 < k < 1$ 时，向量缩短
当 $k = -1$ 时，向量方向相反
当 $k = 0$ 时，得到零向量

运算性质

数乘运算性质

分配律： $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$

数结合律： $(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$

乘法结合律： $k(l\vec{a}) = (kl)\vec{a}$

数乘单位元： $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$

特殊情况

$(-1)\vec{a} = -\vec{a}$ （负向量）
$0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$ （零向量）
$\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a}$ （单位向量）

几何意义

向量的伸缩

数乘运算改变向量的长度但不改变其方向（除非 $k < 0$ ）：

$k > 0$ ：保持方向，长度变为原来的 $k$ 倍
$k < 0$ ：方向相反，长度变为原来的 $|k|$ 倍

方向的改变

正数乘法：保持原方向
负数乘法：方向相反

应用示例

速度向量

一个物体以速度 $v$ 沿某个方向运动， $t$ 秒后的位移为：

$\vec{s} = v t \cdot \vec{e}$

其中 $\vec{e}$ 为速度方向的单位向量。

力的放大

力 $\vec{F}$ 放大 $k$ 倍后变为 $k\vec{F}$ 。

练习题

练习 1

已知 $\vec{a} = (3, 4, 5)$ ，求 $2\vec{a}$ 、 $-\vec{a}$ 和 $\frac{1}{2}\vec{a}$ 。

参考答案 (3 个标签)

数乘运算向量伸缩坐标计算

解题思路：使用数乘运算的坐标运算规则。

详细步骤：

$2\vec{a} = (6, 8, 10)$
$-\vec{a} = (-3, -4, -5)$
$\frac{1}{2}\vec{a} = (\frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2})$

答案： $2\vec{a} = (6, 8, 10)$ ， $-\vec{a} = (-3, -4, -5)$ ， $\frac{1}{2}\vec{a} = (\frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2})$

练习 2

已知向量 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ ，求与 $\vec{a}$ 方向相同、大小为 5 的向量。

参考答案 (3 个标签)

数乘运算单位向量向量伸缩

解题思路：先求单位向量，然后乘以所需长度。

详细步骤：

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$
单位向量 $\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = (\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}})$
所需向量 $\vec{b} = 5\vec{e} = (\frac{5}{\sqrt{14}}, \frac{10}{\sqrt{14}}, \frac{15}{\sqrt{14}}) = \frac{5}{\sqrt{14}}(1, 2, 3)$

答案：所需向量为 $\frac{5}{\sqrt{14}}(1, 2, 3)$ 或 $(\frac{5}{\sqrt{14}}, \frac{10}{\sqrt{14}}, \frac{15}{\sqrt{14}})$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$k\vec{a}$	数乘运算	k times a	向量a的k倍
$-\vec{a}$	负向量	negative a	与a方向相反的向量

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
数乘运算	scalar multiplication	/ˈskeɪlər ˌmʌltɪplɪˈkeɪʃən/	标量与向量的乘法
标量	scalar	/ˈskeɪlər/	只有大小没有方向的量
伸缩	scaling	/ˈskeɪlɪŋ/	改变大小而不改变形状
负向量	negative vector	/ˈnɛɡətɪv ˈvɛktər/	方向相反的向量

上一章节向量减法学习向量之间的减法运算及其几何意义。下一章节线性组合学习向量组的线性组合及其在向量空间中的重要性。

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