数乘运算

数乘运算的定义

数乘运算

设 $k$ 为实数， $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ ，则：

k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)

数乘运算将向量 $\vec{a}$ 拉伸或压缩 $k$ 倍。

几何解释

当 $k > 1$ 时，向量伸长
当 $0 < k < 1$ 时，向量缩短
当 $k = -1$ 时，向量方向相反
当 $k = 0$ 时，得到零向量

运算性质

数乘运算性质

分配律： $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$

分配律（标量加法）： $(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$

乘法结合律： $k(l\vec{a}) = (kl)\vec{a}$

数乘单位元： $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$

特殊情况

$(-1)\vec{a} = -\vec{a}$ （负向量）
$0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$ （零向量）
$\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a}$ （单位向量）

几何意义

向量的伸缩

数乘运算改变向量的长度但不改变其方向（除非 $k < 0$ ）：

$k > 0$ ：保持方向，长度变为原来的 $k$ 倍
$k < 0$ ：方向相反，长度变为原来的 $|k|$ 倍

方向的改变

正数乘法：保持原方向
负数乘法：方向相反

应用示例

速度向量

一个物体以速度 $v$ 沿某个方向运动， $t$ 秒后的位移为：

$\vec{s} = v t \cdot \vec{e}$

其中 $\vec{e}$ 为速度方向的单位向量。

力的放大

力 $\vec{F}$ 放大 $k$ 倍后变为 $k\vec{F}$ 。

练习题

练习 1

已知 $\vec{a} = (3, 4, 5)$ ，求 $2\vec{a}$ 、 $-\vec{a}$ 和 $\frac{1}{2}\vec{a}$ 。

参考答案(3 个标签)

数乘运算向量伸缩坐标计算

解题思路：使用数乘运算的坐标运算规则。

详细步骤：

$2\vec{a} = (6, 8, 10)$
$-\vec{a} = (-3, -4, -5)$
$\frac{1}{2}\vec{a} = (\frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2})$

答案： $2\vec{a} = (6, 8, 10)$ ， $-\vec{a} = (-3, -4, -5)$ ， $\frac{1}{2}\vec{a} = (\frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2})$

练习 2

已知向量 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ ，求与 $\vec{a}$ 方向相同、大小为 5 的向量。

参考答案(3 个标签)

数乘运算单位向量向量伸缩

解题思路：先求单位向量，然后乘以所需长度。

详细步骤：

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$
单位向量 $\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = (\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}})$
所需向量 $\vec{b} = 5\vec{e} = (\frac{5}{\sqrt{14}}, \frac{10}{\sqrt{14}}, \frac{15}{\sqrt{14}}) = \frac{5}{\sqrt{14}}(1, 2, 3)$

答案：所需向量为 $\frac{5}{\sqrt{14}}(1, 2, 3)$ 或 $(\frac{5}{\sqrt{14}}, \frac{10}{\sqrt{14}}, \frac{15}{\sqrt{14}})$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$k\vec{a}$	数乘运算	k times a	向量a的k倍
$-\vec{a}$	负向量	negative a	与a方向相反的向量

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
数乘运算	scalar multiplication	/ˈskeɪlər ˌmʌltɪplɪˈkeɪʃən/	标量与向量的乘法
标量	scalar	/ˈskeɪlər/	只有大小没有方向的量
伸缩	scaling	/ˈskeɪlɪŋ/	改变大小而不改变形状
负向量	negative vector	/ˈnɛɡətɪv ˈvɛktər/	方向相反的向量

学习向量组的线性组合及其在向量空间中的重要性。