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向量代数和空间解析几何

位置关系

两直线的位置关系

设两直线方向向量分别为 s⃗1=(l1,m1,n1)\vec{s}_1 = (l_1, m_1, n_1)，s⃗2=(l2,m2,n2)\vec{s}_2 = (l_2, m_2, n_2)：

平行

两直线平行的条件

s⃗1∥s⃗2  ⟺  l1l2=m1m2=n1n2\vec{s}_1 \parallel \vec{s}_2 \iff \frac{l_1}{l_2} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2}

垂直

两直线垂直的条件

s⃗1⋅s⃗2=0  ⟺  l1l2+m1m2+n1n2=0\vec{s}_1 \cdot \vec{s}_2 = 0 \iff l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = 0

相交

两直线共面且不平行时相交。

异面

两直线异面的条件

两直线不共面，即不存在公垂线垂直于两条直线。

直线与平面的位置关系

设直线方向向量为 s⃗=(l,m,n)\vec{s} = (l, m, n)，平面法向量为 n⃗=(A,B,C)\vec{n} = (A, B, C)：

平行

直线与平面平行的条件

s⃗⋅n⃗=0  ⟺  Al+Bm+Cn=0\vec{s} \cdot \vec{n} = 0 \iff Al + Bm + Cn = 0

垂直

直线与平面垂直的条件

s⃗∥n⃗  ⟺  lA=mB=nC\vec{s} \parallel \vec{n} \iff \frac{l}{A} = \frac{m}{B} = \frac{n}{C}

相交

直线与平面相交的条件

s⃗⋅n⃗≠0\vec{s} \cdot \vec{n} \neq 0

两平面的位置关系

设两平面法向量分别为 n⃗1=(A1,B1,C1)\vec{n}_1 = (A_1, B_1, C_1)，n⃗2=(A2,B2,C2)\vec{n}_2 = (A_2, B_2, C_2)：

平行

两平面平行的条件

n⃗1∥n⃗2  ⟺  A1A2=B1B2=C1C2\vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2 \iff \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}

垂直

两平面垂直的条件

n⃗1⋅n⃗2=0  ⟺  A1A2+B1B2+C1C2=0\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0 \iff A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0

相交

两平面相交的条件

n⃗1×n⃗2≠0⃗\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 \neq \vec{0}

判断方法总结

向量方法

  • 平行：方向向量平行
  • 垂直：方向向量垂直（数量积为零）
  • 相交：既不平行也不垂直

坐标方法

通过比较方向向量或法向量的比例系数来判断位置关系。

练习题

练习 1

判断直线 x−11=y−22=z−33\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{3} 与平面 x+y+z=0x + y + z = 0 的位置关系。

参考答案 (3 个标签)
直线与平面位置关系 数量积 平行判断

解题思路： 计算直线方向向量与平面法向量的数量积。

详细步骤：

  1. 直线方向向量：(1,2,3)(1, 2, 3)
  2. 平面法向量：(1,1,1)(1, 1, 1)
  3. (1,2,3)⋅(1,1,1)=1+2+3=6≠0(1, 2, 3) \cdot (1, 1, 1) = 1 + 2 + 3 = 6 \neq 0

答案：直线与平面相交。

练习 2

判断两平面 x+y+z=1x + y + z = 1 和 x−y+z=2x - y + z = 2 的位置关系。

参考答案 (3 个标签)
两平面位置关系 法向量 夹角计算

解题思路： 比较两平面法向量的比例或计算夹角。

详细步骤：

  1. 第一平面法向量：(1,1,1)(1, 1, 1)
  2. 第二平面法向量：(1,−1,1)(1, -1, 1)
  3. 比例不相等，且数量积不为零，所以相交

答案：两平面相交。

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
s⃗1,s⃗2\vec{s}_1, \vec{s}_2方向向量direction vectors直线的方向向量
n⃗,n⃗1,n⃗2\vec{n}, \vec{n}_1, \vec{n}_2法向量normal vectors平面的法向量
∥\parallel平行符号parallel平行关系
⋅\cdot数量积dot product向量数量积

中英对照

中文术语英文术语音标说明
位置关系positional relationship/pəˈzɪʃənəl rɪˈleɪʃənʃɪp/几何对象之间的相对位置
平行parallel/ˈpærəlɛl/方向相同的几何对象
垂直perpendicular/ˌpɜːrpənˈdɪkjələr/夹角为90度的几何对象
相交intersecting/ˌɪntərˈsɛktɪŋ/几何对象有公共点
异面skew/skjuː/不相交且不平行的直线
上一章节空间直线学习直线的各种方程形式和性质。 下一章节距离公式学习点到线、点到面、线面之间的距离计算。

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