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向量代数和空间解析几何

向量的向量积（叉积）

向量积的定义

向量积

设 a⃗=(a1,a2,a3)\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)，b⃗=(b1,b2,b3)\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)，则向量积定义为：

a⃗×b⃗=(a2b3−a3b2,a3b1−a1b3,a1b2−a2b1)\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)

向量积的结果是一个向量，也称为叉积。

计算方法

向量积可以通过行列式计算：

向量积的行列式表示
a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗a1a2a3b1b2b3∣\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

几何意义

向量积的几何意义

结果向量垂直于 a⃗\vec{a} 和 b⃗\vec{b} 所在的平面，方向遵循右手定则：

∣a⃗×b⃗∣=∣a⃗∣∣b⃗∣sin⁡θ|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta

其中 θ\theta 是两向量之间的夹角。

右手定则

四指从 a⃗\vec{a} 转向 b⃗\vec{b}，拇指方向即为 a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b} 的方向。

性质

向量积的基本性质

反交换律：a⃗×b⃗=−b⃗×a⃗\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}

分配律：a⃗×(b⃗+c⃗)=a⃗×b⃗+a⃗×c⃗\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}

数乘结合律：(ka⃗)×b⃗=k(a⃗×b⃗)(k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b})

自叉积：a⃗×a⃗=0⃗\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}

应用

判断平行

向量平行的条件
a⃗∥b⃗⇔a⃗×b⃗=0⃗\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}

计算面积

平行四边形面积

以 a⃗\vec{a} 和 b⃗\vec{b} 为邻边的平行四边形面积为：

S=∣a⃗×b⃗∣S = |\vec{a} \times \vec{b}|

求法向量

平面法向量

两向量 a⃗\vec{a} 和 b⃗\vec{b} 的叉积得到平面的法向量：

n⃗=a⃗×b⃗\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}

力矩计算

力矩公式
M⃗=r⃗×F⃗\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}

其中 r⃗\vec{r} 是从支点到作用点的向量，F⃗\vec{F} 是力向量。

练习题

练习 1

求 a⃗=(1,2,3)\vec{a} = (1, 2, 3) 和 b⃗=(4,0,−1)\vec{b} = (4, 0, -1) 的向量积。

向量积叉积计算行列式

解题思路： 使用向量积的坐标计算公式。

详细步骤：

  1. a⃗×b⃗=(2×(−1)−3×0,3×4−1×(−1),1×0−2×4)\vec{a} \times \vec{b} = (2 \times (-1) - 3 \times 0, 3 \times 4 - 1 \times (-1), 1 \times 0 - 2 \times 4)
  2. =(−2−0,12+1,0−8)=(−2,13,−8)= (-2 - 0, 12 + 1, 0 - 8) = (-2, 13, -8)

最终答案：a⃗×b⃗=(−2,13,−8)\vec{a} \times \vec{b} = (-2, 13, -8)

练习 2

判断向量 a⃗=(1,2,3)\vec{a} = (1, 2, 3) 和 b⃗=(2,4,6)\vec{b} = (2, 4, 6) 是否平行。

向量平行向量积零向量

解题思路： 计算向量积，如果结果为零向量则平行。

详细步骤：

  1. a⃗×b⃗=(2×6−3×4,3×2−1×6,1×4−2×2)\vec{a} \times \vec{b} = (2 \times 6 - 3 \times 4, 3 \times 2 - 1 \times 6, 1 \times 4 - 2 \times 2)
  2. =(12−12,6−6,4−4)=(0,0,0)= (12 - 12, 6 - 6, 4 - 4) = (0, 0, 0)

最终答案：向量积为零向量，两向量平行。

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b}向量积cross product向量a和b的向量积
i⃗,j⃗,k⃗\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}基向量basis vectors标准基向量
sin⁡θ\sin\theta正弦sine theta角度的正弦值

中英对照

中文术语英文术语音标说明
向量积cross product/krɒs ˈprɒdʌkt/两个向量的向量积
叉积vector product/ˈvɛktə ˈprɒdʌkt/向量积的别称
右手定则right-hand rule/raɪt hænd ruːl/确定向量积方向的规则
法向量normal vector/ˈnɔːrməl ˈvɛktər/垂直于平面的向量
力矩moment of force/ˈmoʊmənt əv fɔːrs/力产生的旋转效应
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向量的数量积（点积）
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