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向量代数和空间解析几何

坐标变换

过渡矩阵

过渡矩阵

设 VV 有两个基：

基 I：{e⃗1,e⃗2,…,e⃗n}\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\} 基 II：{e⃗1′,e⃗2′,…,e⃗n′}\{\vec{e}'_1, \vec{e}'_2, \dots, \vec{e}'_n\}

如果新基可以用旧基表示：

e⃗j′=p1je⃗1+p2je⃗2+⋯+pnje⃗n\vec{e}'_j = p_{1j}\vec{e}_1 + p_{2j}\vec{e}_2 + \dots + p_{nj}\vec{e}_n

则矩阵 P=(pij)n×nP = (p_{ij})_{n \times n} 称为从基 I 到基 II 的过渡矩阵。

过渡矩阵的性质

过渡矩阵的矩阵表示

P=(e⃗1′e⃗2′…e⃗n′)⋅(e⃗1e⃗2…e⃗n)−1P = \begin{pmatrix} \vec{e}'_1 & \vec{e}'_2 & \dots & \vec{e}'_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \vec{e}_1 & \vec{e}_2 & \dots & \vec{e}_n \end{pmatrix}^{-1}

其中右边的矩阵是基向量的坐标矩阵。

坐标变换公式

定理 1

设向量 a⃗\vec{a}在基 I 下的坐标为 X=(x1,x2,…,xn)TX = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T，在基 II 下的坐标为 X′=(x1′,x2′,…,xn′)TX' = (x'_1, x'_2, \dots, x'_n)^T，则：

X′=P−1XX' = P^{-1} X

其中 PP 是从基 I 到基 II 的过渡矩阵。

几何意义

坐标变换描述了同一个向量在不同坐标系下的表示关系。

基变换的例子

标准基到另一组基

例子： 在 R2\mathbb{R}^2 中，从标准基 {(1,0),(0,1)}\{(1,0), (0,1)\} 变换到基 {(1,1),(1,−1)}\{(1,1), (1,-1)\}。

过渡矩阵计算

新基向量在旧基下的坐标：

e⃗1′=(1,1)=1⋅(1,0)+1⋅(0,1)\vec{e}'_1 = (1,1) = 1\cdot(1,0) + 1\cdot(0,1) e⃗2′=(1,−1)=1⋅(1,0)+(−1)⋅(0,1)\vec{e}'_2 = (1,-1) = 1\cdot(1,0) + (-1)\cdot(0,1)

过渡矩阵： P=(111−1)P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

坐标变换计算

向量 a⃗=(2,3)\vec{a} = (2, 3) 在标准基下的坐标为 (2,3)T(2, 3)^T，在新基下的坐标为：

X′=P−1(23)X' = P^{-1} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}

练习题

练习 1

求从基 {(1,0),(0,1)}\{(1,0), (0,1)\} 到基 {(1,1),(1,−1)}\{(1,1), (1,-1)\} 的过渡矩阵。

参考答案 (3 个标签)
过渡矩阵 基变换 坐标计算

解题思路： 计算新基向量在旧基下的坐标。

详细步骤：

  1. 新基向量：e⃗1′=(1,1)\vec{e}'_1 = (1,1)，e⃗2′=(1,−1)\vec{e}'_2 = (1,-1)

  2. 在旧基下的坐标： e⃗1′=1⋅(1,0)+1⋅(0,1)\vec{e}'_1 = 1\cdot(1,0) + 1\cdot(0,1)，坐标 (1,1)T(1,1)^T e⃗2′=1⋅(1,0)+(−1)⋅(0,1)\vec{e}'_2 = 1\cdot(1,0) + (-1)\cdot(0,1)，坐标 (1,−1)T(1,-1)^T

  3. 过渡矩阵： P=(111−1)P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

答案：过渡矩阵为 (111−1)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

练习 2

向量 a⃗=(3,1)\vec{a} = (3, 1) 在标准基下的坐标为 (3,1)T(3, 1)^T，在新基 {(1,1),(1,−1)}\{(1,1), (1,-1)\} 下的坐标是多少？

参考答案 (3 个标签)
坐标变换 过渡矩阵 矩阵运算

解题思路： 使用坐标变换公式。

详细步骤：

  1. 过渡矩阵 P=(111−1)P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

  2. 计算 P−1P^{-1}： 行列式 det⁡P=1⋅(−1)−1⋅1=−2\det P = 1\cdot(-1) - 1\cdot1 = -2 P−1=1−2(−1−1−11)=(0.50.50.5−0.5)P^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & -0.5 \end{pmatrix}

  3. 新坐标： X′=P−1X=(0.50.50.5−0.5)(31)=(21)X' = P^{-1} X = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & -0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}

答案：新坐标为 (2,1)T(2, 1)^T

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
PP过渡矩阵transition matrix P基变换矩阵
X,X′X, X'坐标向量coordinate vectors向量在不同基下的坐标
e⃗i,e⃗i′\vec{e}_i, \vec{e}'_i基向量basis vectors不同基中的向量

中英对照

中文术语英文术语音标说明
过渡矩阵transition matrix/trænˈzɪʃən ˈmeɪtrɪks/基变换的矩阵表示
坐标变换coordinate transformation/koʊˈɔːrdɪnət ˌtrænsfərˈmeɪʃən/坐标在不同基下的变换
基变换basis transformation/ˈbeɪsɪs ˌtrænsfərˈmeɪʃən/从一个基到另一个基的变换
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