双曲面

单叶双曲面

单叶双曲面是点的集合，其中点的坐标满足一个变量的平方减去另外两个变量的平方等于常数。

标准方程

单叶双曲面的标准方程

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$

其中 $a, b, c > 0$ 。

几何性质

拓扑结构：连通曲面，只有一个叶片
对称性：关于三个坐标平面对称
开口方向：沿 $z$ 轴正负两个方向开口

双叶双曲面

双叶双曲面是点的集合，其中点的坐标满足一个变量的平方减去另外两个变量的平方等于负常数。

标准方程

双叶双曲面的标准方程

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1$

其中 $a, b, c > 0$ 。

几何性质

拓扑结构：不连通曲面，由两个分离的叶片组成
对称性：关于三个坐标平面对称
位置：两个叶片分别在 $z$ 轴的正负方向

双曲面的性质

截线性质

双曲面的截线

双曲面与坐标平面的截线为双曲线或椭圆：

与 $xy$ 平面的截线： $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ （椭圆）
与 $xz$ 平面的截线： $\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ （双曲线）
与 $yz$ 平面的截线： $\frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ （双曲线）

渐进行为

双曲面具有渐近锥面：

渐近锥面

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$

双曲面上的点当距离原点无限远时，趋近于这个锥面。

母线

单叶双曲面可以由两条相交的直线旋转生成。

特殊情况

旋转双曲面

当 $a = b$ 时，形成旋转双曲面：

单叶旋转双曲面： $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$
双叶旋转双曲面： $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1$

等轴双曲面

当 $a = b = c$ 时：

单叶等轴双曲面： $x^2 + y^2 - z^2 = a^2$
双叶等轴双曲面： $x^2 + y^2 - z^2 = -a^2$

练习题

练习 1

判断曲面 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} - \frac{z^2}{16} = 1$ 的类型。

参考答案 (3 个标签)

双曲面方程识别单叶双曲面

解题思路：识别双曲面的标准方程形式。

详细步骤：

方程形式： $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$
参数： $a = 3$ ， $b = 2$ ， $c = 4$
这是单叶双曲面的标准方程

答案：这是单叶双曲面

练习 2

判断曲面 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} - \frac{z^2}{16} = -1$ 的类型。

参考答案 (3 个标签)

双曲面方程识别双叶双曲面

解题思路：识别双叶双曲面的标准方程形式。

详细步骤：

方程形式： $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1$
参数： $a = 3$ ， $b = 2$ ， $c = 4$
这是双叶双曲面的标准方程

答案：这是双叶双曲面

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$	单叶双曲面	one-sheet hyperboloid	单叶双曲面的标准方程
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1$	双叶双曲面	two-sheet hyperboloid	双叶双曲面的标准方程
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$	渐近锥面	asymptotic cone	双曲面的渐近锥面

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
单叶双曲面	one-sheet hyperboloid	/wʌn ʃiːt haɪˈpɜːrbəlɔɪd/	连通的双曲面
双叶双曲面	two-sheet hyperboloid	/tuː ʃiːt haɪˈpɜːrbəlɔɪd/	由两个叶片组成的不连通双曲面
渐近锥面	asymptotic cone	/ˌæsɪmˈtɒtɪk koʊn/	曲面的渐近线构成的锥面
旋转双曲面	hyperboloid of revolution	/haɪˈpɜːrbəlɔɪd əv ˌrɛvəˈluːʃən/	通过旋转双曲线形成的双曲面

上一章节抛物面学习椭圆抛物面和双曲抛物面的定义和性质。下一章节柱面学习椭圆柱面、抛物柱面和双曲柱面的定义和性质。

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