向量共面

向量共面的直观理解

向量共面是指三个向量可以自由平移后落在同一个平面上。

向量共面的充要条件

向量共面的判定方法

1. 混合积法：计算向量混合积 $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$，若为零则共面
2. 线性组合法：检查是否存在不全为零的 $k, l, m$ 使得 $k\vec{a} + l\vec{b} + m\vec{c} = \vec{0}$
3. 行列式法：计算三向量坐标构成的行列式，若为零则共面
4. 体积法：若三向量构成的平行六面体体积为零，则共面

实例与应用

正向实例：共面向量

例 1：判断向量 $\vec{a} = (1, 0, 0)$、$\vec{b} = (0, 1, 0)$、$\vec{c} = (1, 1, 0)$ 是否共面。

解：

1. 混合积：$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$

   • $\vec{b} \times \vec{c} = (0, 1, 0) \times (1, 1, 0) = (0, 0, -1) = (0, 0, -1)$
   • $\vec{a} \cdot (0, 0, -1) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) = 0$

2. 或线性组合：寻找 $k, l, m$ 使 $k(1,0,0) + l(0,1,0) + m(1,1,0) = (0,0,0)$

   • 方程组：$k + m = 0$，$l + m = 0$，$0 = 0$
   • 解得 $k = 1$，$l = 1$，$m = -1$（系数不全为零）

反向实例：非共面向量

例 2：判断向量 $\vec{a} = (1, 0, 0)$、$\vec{b} = (0, 1, 0)$、$\vec{c} = (0, 0, 1)$ 是否共面。

解：

1. 混合积：$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$

   • $\vec{b} \times \vec{c} = (0, 1, 0) \times (0, 0, 1) = (1, 0, 0)$
   • $\vec{a} \cdot (1, 0, 0) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 1 ≠ 0$

2. 或行列式：

   $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 ≠ 0$$

线性相关实例

例 3：判断向量 $\vec{a} = (1, 2, 3)$、$\vec{b} = (2, 4, 6)$、$\vec{c} = (3, 6, 9)$ 是否共面。

解：

1. 观察关系：$\vec{b} = 2\vec{a}$，$\vec{c} = 3\vec{a}$
2. 线性组合：$1\vec{a} + (-2)\vec{b} + 1\vec{c} = (0,0,0)$
3. 系数 $(1, -2, 1)$ 不全为零

应用场景

在空间几何中的应用

1. 平面方程：空间中三点确定的平面，可通过共面向量表示平面上任意一点的位置向量
2. 线性相关性：向量共面是研究线性相关性的重要概念
3. 立体几何：共面向量在求解空间几何问题中有重要应用

常见误区提醒

小练习

练习 1

判断向量 $\vec{a} = (1, 1, 0)$、$\vec{b} = (1, 0, 1)$、$\vec{c} = (0, 1, 1)$ 是否共面。

练习 2

判断向量 $\vec{a} = (1, 3, 2)$、$\vec{b} = (2, 6, 4)$、$\vec{c} = (3, 9, 6)$ 是否共面。

总结

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中英对照