向量的定义

解题思路： 有向线段 $\vec{AB}$ 的坐标等于终点坐标减去起点坐标；两个向量是否相等只取决于方向与长度，与起点、终点的位置无关。

详细步骤：

1. $\vec{AB} = (4 - 1, 6 - 2) = (3, 4)$，$\vec{CD} = (5 - 2, 7 - 3) = (3, 4)$
2. 两个向量的坐标完全相同，方向相同、长度也相同，所以 $\vec{AB} = \vec{CD}$，即两向量相等
3. $\vec{BA} = (1 - 4, 2 - 6) = (-3, -4) = -\vec{AB}$，故 $\vec{BA}$ 与 $\vec{AB}$ 互为相反向量

最终答案：$\vec{AB} = \vec{CD} = (3, 4)$，两向量相等；$\vec{BA} = (-3, -4) = -\vec{AB}$，与 $\vec{AB}$ 互为相反向量。

解题思路： 模由坐标平方和开方得到；同方向的单位向量就是把原向量除以它自己的模；零向量长度为 0、方向任意，坐标为全零。

详细步骤：

1. $|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$
2. 同方向的单位向量为 $\vec{e} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0)$，且 $|\vec{e}| = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = 1$
3. 零向量为 $\vec{0} = (0, 0, 0)$，模为 0，方向任意
4. $\vec{c} + (-\vec{c}) = (3 - 3, 4 - 4, 0 - 0) = (0, 0, 0) = \vec{0}$，验证了相反向量相加得零向量

最终答案：$|\vec{c}| = 5$，同方向的单位向量为 $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0)$，零向量为 $(0, 0, 0)$ 且 $\vec{c} + (-\vec{c}) = \vec{0}$。

解题思路： 坐标表示下，向量的加减与数乘都按分量逐项进行；两向量共线当且仅当对应分量成比例，也就是其中一个是另一个的数乘。

详细步骤：

1. $\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-1), -1 + 2, 3 + 0) = (1, 1, 3)$
2. $\vec{a} - \vec{b} = (2 - (-1), -1 - 2, 3 - 0) = (3, -3, 3)$
3. $2\vec{a} + 3\vec{b} = (4, -2, 6) + (-3, 6, 0) = (1, 4, 6)$
4. 若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则存在实数 $k$ 使 $\vec{b} = k\vec{a}$；由第一个分量 $-1 = 2k$ 得 $k = -\frac{1}{2}$，由第二个分量 $2 = -k$ 得 $k = -2$，两者矛盾，所以不共线

最终答案：$\vec{a} + \vec{b} = (1, 1, 3)$，$\vec{a} - \vec{b} = (3, -3, 3)$，$2\vec{a} + 3\vec{b} = (1, 4, 6)$；$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线。

解题思路： 直线上两点连成的有向线段 $\vec{AB}$ 就是该直线的一个方向向量；把方向向量除以自身的模，就得到与它同方向的单位向量。

详细步骤：

1. 方向向量可取 $\vec{AB} = (2 - 1, 3 - 1, 2 - 1) = (1, 2, 1)$
2. $|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$
3. 同方向的单位向量为 $\vec{e} = \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$
4. 验证：$|\vec{e}| = \sqrt{\frac{1}{6} + \frac{4}{6} + \frac{1}{6}} = 1$，方向与 $\vec{AB}$ 相同

最终答案：方向向量可取 $\vec{AB} = (1, 2, 1)$，与它同方向的单位向量为 $(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$。