内积与正交化

内积空间

设 $V$ 是实向量空间，如果对任意 $\vec{a}, \vec{b} \in V$ ，都定义了一个实数 $(\vec{a}, \vec{b})$ ，称为 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的内积，且满足：

对称性： $(\vec{a}, \vec{b}) = (\vec{b}, \vec{a})$
线性性： $(k\vec{a} + \vec{b}, \vec{c}) = k(\vec{a}, \vec{c}) + (\vec{b}, \vec{c})$
正定性： $(\vec{a}, \vec{a}) \geq 0$ ，且等号成立当且仅当 $\vec{a} = \vec{0}$

则称 $V$ 为内积空间。

欧几里得空间

欧几里得内积

在 $\mathbb{R}^n$ 中，标准的内积为：

$(\vec{a}, \vec{b}) = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n = \vec{a} \cdot \vec{b}$

向量的长度和夹角

向量的长度（范数）

向量长度

$\|\vec{a}\| = \sqrt{(\vec{a}, \vec{a})} = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$

向量夹角

$\cos\theta = \frac{(\vec{a}, \vec{b})}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|}$

正交向量

如果 $(\vec{a}, \vec{b}) = 0$ ，则称向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 正交，记作 $\vec{a} \perp \vec{b}$ 。

正交向量组

如果向量组中任意两个不同的向量都正交，则称该向量组为正交向量组。

标准正交向量组

如果向量组是正交向量组，且每个向量的长度都为 1，则称该向量组为标准正交向量组（或规范正交向量组）。

施密特正交化方法

定理 1

任何线性无关的向量组都可以通过施密特正交化方法化为标准正交向量组。

施密特正交化过程

设 $\vec{a}_1, \vec{a}_2, \dots, \vec{a}_n$ 是线性无关的向量组，构造正交向量组 $\vec{b}_1, \vec{b}_2, \dots, \vec{b}_n$ ：

施密特正交化

\begin{aligned} \vec{b}_1 &= \vec{a}_1 \\ \vec{b}_2 &= \vec{a}_2 - \frac{(\vec{a}_2, \vec{b}_1)}{(\vec{b}_1, \vec{b}_1)} \vec{b}_1 \\ \vec{b}_3 &= \vec{a}_3 - \frac{(\vec{a}_3, \vec{b}_1)}{(\vec{b}_1, \vec{b}_1)} \vec{b}_1 - \frac{(\vec{a}_3, \vec{b}_2)}{(\vec{b}_2, \vec{b}_2)} \vec{b}_2 \\ &\vdots \\ \vec{b}_k &= \vec{a}_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{(\vec{a}_k, \vec{b}_j)}{(\vec{b}_j, \vec{b}_j)} \vec{b}_j \end{aligned}

标准正交化

将正交向量组单位化：

标准正交化

$\vec{e}_i = \frac{\vec{b}_i}{\|\vec{b}_i\|}$

正交矩阵

如果实矩阵 $Q$ 满足 $Q^T Q = I$ （或 $Q^T = Q^{-1}$ ），则称 $Q$ 为正交矩阵。

正交矩阵的性质

定理 2

正交矩阵具有以下性质：

$Q^T = Q^{-1}$
$|Q| = \pm 1$
$Q$ 的列（行）向量构成标准正交向量组
正交变换保持向量的长度和夹角

练习题

练习 1

使用施密特正交化方法将向量组 $\{(1,1,0), (1,0,1)\}$ 正交化。

参考答案 (3 个标签)

施密特正交化正交向量计算过程

解题思路：按照施密特正交化公式逐步计算。

详细步骤：

$\vec{b}_1 = \vec{a}_1 = (1,1,0)$
计算 $\vec{b}_2$ ： $\vec{b}_2 = \vec{a}_2 - \frac{(\vec{a}_2, \vec{b}_1)}{(\vec{b}_1, \vec{b}_1)} \vec{b}_1$ $(\vec{a}_2, \vec{b}_1) = (1,0,1) \cdot (1,1,0) = 1 + 0 + 0 = 1$ $(\vec{b}_1, \vec{b}_1) = (1,1,0) \cdot (1,1,0) = 1 + 1 + 0 = 2$ $\vec{b}_2 = (1,0,1) - \frac{1}{2}(1,1,0) = (1,0,1) - (0.5, 0.5, 0) = (0.5, -0.5, 1)$
正交向量组： $\{(1,1,0), (0.5,-0.5,1)\}$

答案：正交向量组为 $\{(1,1,0), (0.5,-0.5,1)\}$

练习 2

判断矩阵 $Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$ 是否为正交矩阵。

参考答案 (3 个标签)

正交矩阵矩阵性质行列式

解题思路：验证 $Q^T Q = I$ 。

详细步骤：

计算 $Q^T$ ： $Q^T = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
计算 $Q^T Q$ ： $Q^T Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
计算结果： $( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - \frac{1}{2} ) = (1, 0)$ $( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{1}{2} ) = (0, 1)$
所以 $Q^T Q = I$
行列式： $\det Q = \frac{1}{\sqrt{2}}(-\frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$

答案： $Q$ 是正交矩阵

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$(\vec{a}, \vec{b})$	内积	inner product	向量a和b的内积
$\\|\vec{a}\\|$	向量长度	vector norm	向量的长度
$\vec{a} \perp \vec{b}$	正交	orthogonal	向量正交关系
$Q$	正交矩阵	orthogonal matrix	满足正交性质的矩阵

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
内积空间	inner product space	/ˈɪnər ˈprɒdʌkt speɪs/	带有内积的向量空间
正交向量	orthogonal vectors	/ɔːrˈθɒɡənl ˈvɛktərz/	内积为零的向量
施密特正交化	Gram-Schmidt orthogonalization	/ɡræm ʃmɪt ɔːrˌθɒɡənəlaɪˈzeɪʃən/	将线性无关向量组正交化的方法
正交矩阵	orthogonal matrix	/ɔːrˈθɒɡənl ˈmeɪtrɪks/	转置等于逆矩阵的矩阵
标准正交基	orthonormal basis	/ˈɔːrθənɔːrməl ˈbeɪsɪs/	由标准正交向量组成的基

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