快易知
向量代数和空间解析几何

基与维数

基的定义

基

向量空间 VV 的一个基是 VV 中的一个线性无关的向量组，且 VV 中任意向量都可以由这个向量组线性表示。

基的性质

  1. 线性无关性：基中的向量整体线性无关（并非仅两两线性无关）
  2. 生成性：基可以生成整个向量空间
  3. 最小性：去掉任何一个向量，都不能生成整个空间

标准基

n 维空间的标准基

在 Rn\mathbb{R}^n 中，标准基为：

e⃗1=(1,0,0,…,0)\vec{e}_1 = (1, 0, 0, \dots, 0) e⃗2=(0,1,0,…,0)\vec{e}_2 = (0, 1, 0, \dots, 0) ⋮\vdots e⃗n=(0,0,0,…,1)\vec{e}_n = (0, 0, 0, \dots, 1)

维数定理

定理1

向量空间 VV 的任意两个基都含有相同个数的向量，这个数称为 VV 的维数，记作 dim⁡V\dim V。

维数的含义

  • 有限维空间：存在有限基的向量空间
  • 无限维空间：不存在有限基的向量空间
  • 零维空间：只包含零向量的空间，dim⁡V=0\dim V = 0

常见向量空间的维数

  • Rn\mathbb{R}^n 的维数为 nn
  • 零向量空间的维数为 00
  • 多项式空间 PnP_n 的维数为 n+1n+1

坐标表示

坐标的概念

坐标

设 {e⃗1,e⃗2,…,e⃗n}\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\} 是 VV 的一个基，则任意向量 a⃗∈V\vec{a} \in V 可以唯一表示为：

a⃗=x1e⃗1+x2e⃗2+⋯+xne⃗n\vec{a} = x_1\vec{e}_1 + x_2\vec{e}_2 + \dots + x_n\vec{e}_n

其中 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n 称为 a⃗\vec{a} 在基 {e⃗1,e⃗2,…,e⃗n}\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\} 下的坐标。

坐标向量

坐标向量

a⃗=(x1x2⋮xn){e⃗1,e⃗2,…,e⃗n}\vec{a} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}_{\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\}}

基变换

基变换的概念

基变换

当我们从一个基变换到另一个基时，向量的坐标也会发生变化。

设 VV 有两个基：

基 I：{e⃗1,e⃗2,…,e⃗n}\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\} 基 II：{e⃗1′,e⃗2′,…,e⃗n′}\{\vec{e}'_1, \vec{e}'_2, \dots, \vec{e}'_n\}

则存在过渡矩阵 PP，使得：

(e⃗1′e⃗2′…e⃗n′)=(e⃗1e⃗2…e⃗n)P\begin{pmatrix} \vec{e}'_1 & \vec{e}'_2 & \dots & \vec{e}'_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec{e}_1 & \vec{e}_2 & \dots & \vec{e}_n \end{pmatrix} P

练习题

练习 1

证明 R2\mathbb{R}^2 的维数为 2。

向量空间维数基的性质

解题思路： 证明存在包含 2 个向量的基，且不存在包含 1 个向量的基。

详细步骤：

  1. 存在 2 维基：{(1,0),(0,1)}\{(1,0), (0,1)\} 是 R2\mathbb{R}^2 的基

    • 线性无关
    • 可以生成所有向量：(a,b)=a(1,0)+b(0,1)(a,b) = a(1,0) + b(0,1)

  2. 不存在 1 维基：假设存在 1 维基 {u⃗}\{ \vec{u} \}

    • u⃗≠0⃗\vec{u} \neq \vec{0}
    • 但无法生成如 (1,0)(1,0) 等向量（如果 u⃗=(1,0)\vec{u} = (1,0)，无法生成 (0,1)(0,1)）

最终答案：dim⁡R2=2\dim \mathbb{R}^2 = 2

练习 2

求向量 a⃗=(1,2,3)\vec{a} = (1, 2, 3) 在基 {(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)}\{(1,0,1), (0,1,1), (1,1,0)\} 下的坐标。

坐标表示基变换线性方程组

解题思路： 解线性方程组求坐标。

详细步骤：

设 a⃗=xe⃗1+ye⃗2+ze⃗3\vec{a} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2 + z\vec{e}_3

即：(1,2,3)=x(1,0,1)+y(0,1,1)+z(1,1,0)(1,2,3) = x(1,0,1) + y(0,1,1) + z(1,1,0) =(x+z,y+z,x+y)=(x+z, y+z, x+y)

解方程组： {x+z=1y+z=2x+y=3\begin{cases} x + z = 1 \\ y + z = 2 \\ x + y = 3 \end{cases}

解得：x=1x = 1，y=2y = 2，z=0z = 0

最终答案：坐标为 (1,2,0)(1, 2, 0)

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
dim⁡V\dim V维数dimension of V向量空间V的维数
e⃗1,e⃗2,…\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots基向量basis vectors基中的向量
PP过渡矩阵transition matrix基变换矩阵
(x1,x2,…,xn)(x_1, x_2, \dots, x_n)坐标coordinates向量在基下的坐标

中英对照

中文术语英文术语音标说明
基basis/ˈbeɪsɪs/生成空间的线性无关向量组
维数dimension/daɪˈmɛnʃən/基中向量的个数
坐标coordinates/koʊˈɔːrdɪnəts/向量在基下的表示
过渡矩阵transition matrix/trænˈzɪʃən ˈmeɪtrɪks/基变换的矩阵
标准基standard basis/ˈstændərd ˈbeɪsɪs/常用的基，如单位向量基
上一章节
向量空间的定义
下一章节
坐标变换

发现内容有问题？

告诉我们哪里需要改进。