基与维数

基的定义

基

向量空间 $V$ 的一个基是 $V$ 中的一个线性无关的向量组，且 $V$ 中任意向量都可以由这个向量组线性表示。

基的性质

线性无关性：基中的向量两两线性无关
生成性：基可以生成整个向量空间
最小性：去掉任何一个向量，都不能生成整个空间

标准基

n 维空间的标准基

在 $\mathbb{R}^n$ 中，标准基为：

$\vec{e}_1 = (1, 0, 0, \dots, 0)$ $\vec{e}_2 = (0, 1, 0, \dots, 0)$ $\vdots$ $\vec{e}_n = (0, 0, 0, \dots, 1)$

维数定理

定理 1

向量空间 $V$ 的任意两个基都含有相同个数的向量，这个数称为 $V$ 的维数，记作 $\dim V$ 。

维数的含义

有限维空间：存在有限基的向量空间
无限维空间：不存在有限基的向量空间
零维空间：只包含零向量的空间， $\dim V = 0$

常见向量空间的维数

$\mathbb{R}^n$ 的维数为 $n$
零向量空间的维数为 $0$
多项式空间 $P_n$ 的维数为 $n+1$

坐标表示

坐标的概念

向量的坐标表示

设 $\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\}$ 是 $V$ 的一个基，则任意向量 $\vec{a} \in V$ 可以唯一表示为：

$\vec{a} = x_1\vec{e}_1 + x_2\vec{e}_2 + \dots + x_n\vec{e}_n$

其中 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 称为 $\vec{a}$ 在基 $\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\}$ 下的坐标。

坐标向量

$\vec{a} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}_{\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\}}$

基变换

基变换的概念

当我们从一个基变换到另一个基时，向量的坐标也会发生变化。

基变换

设 $V$ 有两个基：

基 I： $\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\}$ 基 II： $\{\vec{e}'_1, \vec{e}'_2, \dots, \vec{e}'_n\}$

则存在过渡矩阵 $P$ ，使得：

$\begin{pmatrix} \vec{e}'_1 & \vec{e}'_2 & \dots & \vec{e}'_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec{e}_1 & \vec{e}_2 & \dots & \vec{e}_n \end{pmatrix} P$

练习题

练习 1

证明 $\mathbb{R}^2$ 的维数为 2。

参考答案 (3 个标签)

向量空间维数基的性质

解题思路：证明存在包含 2 个向量的基，且不存在包含 1 个向量的基。

详细步骤：

存在 2 维基： $\{(1,0), (0,1)\}$ 是 $\mathbb{R}^2$ 的基
- 线性无关
- 可以生成所有向量： $(a,b) = a(1,0) + b(0,1)$
不存在 1 维基：假设存在 1 维基 $\{ \vec{u} \}$
- $\vec{u} \neq \vec{0}$
- 但无法生成如 $(1,0)$ 等向量（如果 $\vec{u} = (1,0)$ ，无法生成 $(0,1)$ ）

答案： $\dim \mathbb{R}^2 = 2$

练习 2

求向量 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ 在基 $\{(1,0,1), (0,1,1), (1,1,0)\}$ 下的坐标。

参考答案 (3 个标签)

坐标表示基变换线性方程组

解题思路：解线性方程组求坐标。

详细步骤：

设 $\vec{a} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2 + z\vec{e}_3$

即： $(1,2,3) = x(1,0,1) + y(0,1,1) + z(1,1,0)$ $=(x+z, y+z, x+y)$

解方程组： $\begin{cases} x + z = 1 \\ y + z = 2 \\ x + y = 3 \end{cases}$

解得： $x = 1$ ， $y = 2$ ， $z = 0$

答案：坐标为 $(1, 2, 0)$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\dim V$	维数	dimension of V	向量空间V的维数
$\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots$	基向量	basis vectors	基中的向量
$P$	过渡矩阵	transition matrix	基变换矩阵
$(x_1, x_2, \dots, x_n)$	坐标	coordinates	向量在基下的坐标

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
基	basis	/ˈbeɪsɪs/	生成空间的线性无关向量组
维数	dimension	/daɪˈmɛnʃən/	基中向量的个数
坐标	coordinates	/koʊˈɔːrdɪnəts/	向量在基下的表示
过渡矩阵	transition matrix	/trænˈzɪʃən ˈmeɪtrɪks/	基变换的矩阵
标准基	standard basis	/ˈstændərd ˈbeɪsɪs/	常用的基，如单位向量基

上一章节向量空间的定义学习向量空间的公理、性质和常见例子下一章节坐标变换学习向量在不同基下的坐标变换和过渡矩阵

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